Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) САУ 2 страница

Исключим из уравнений (4.24) время , разделив первое из них на второе при ( и ):

. (4.25)

Решение этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (, ), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной.

Вся совокупность интегральных кривых все возможные фазовые траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе автоматического регулирования при любых начальных условиях.

Рассмотрим отдельно различные случаи. Уравнению (4.23) соответствуют корни характеристического уравнения

,

причем возможны шесть случаев:

1) корни чисто мнимые при , (граница устойчивости линейной системы);

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при , , (устойчивая линейная система);

3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при , , (неустойчивая линейная система);

4) корни вещественные отрицательные при , , (устойчивая линейная система);

5) корни вещественные положительные при , , (неустойчивая линейная система);

6) корни вещественные и имеют разные знаки при (неустойчивая линейная система), в частности, один из корней будет равен нулю при (граница устойчивости линейной системы).

Случай 1. В первом случае получаются, как известно, незатухающие колебания (рис. 16.8, а)

, , , (4.26)

с постоянной амплитудой А и начальной фазой , которые зависят от начальных условий. Для фазовой плоскости уравнения (4.26) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и w А (рис. 16.8, б). Уравнение эллипса

можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (4.25) при и , причем А – произвольная постоянная интегрирования.

Итак, периодическим колебаниям системы (рис. 16.8, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой (рис. 16.8, б).

Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями) как известно, имеют место затухающие колебания (рис. 16.9, а)

, ,

где

, , , ,

а произвольные постоянные А и b определяются из начальных условий:

, при .

Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.9, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку , а подходит ближе к началу координат.

Итак, затухающим колебаниям системы (рис. 16.8, а) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис. 16.9, б).

Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (рис. 16.10, а). Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траекторий тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 16.10, б).

Случай 4. Это случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу

(4.27)

где

.

На рис. 16.11, а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (х, у) это изображается кривыми 1 и 2 соответственно (рис. 16.11, б), так как в первом варианте все время и , а во втором варианте знаки х и у меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые и , получающиеся из уравнений (4.27) соответственно при и при (обращение одного из корней в нуль).

В отличии от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.

Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.

Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (4.27), но при и . Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.12.

Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (4.27) (рис. 16.13, а), где и имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная. Так как , то введем обозначения , причем для простоты построений рассмотрим случай , что соответствует, согласно (4.23), уравнению системы и согласно (4.25) – уравнению фазовых траекторий

. (4.28)

Интегрирование последних, аналогично случаю 1, дает , т. е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.13, б.

Аналогичная картина фазовых траекторий получается в данном случае и при .

Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.12, б или типа рис. 16.13, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию, получаем согласно (4.25) неопределенное выражение

,

т. е. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особыми точками, причем существует следующая классификация для них:

а) особые точки типа точки О на рис. 16.8, б называются центрами;

б) особые точки типа рис. 16.9, б называются устойчивыми фокусами;

в) особые точки типа рис. 16.10, б называются неустойчивыми фокусами;

г) особые точки типа рис. 16.11, б называются устойчивыми узлами;

д) особые точки типа рис. 16.12, б называются неустойчивыми узлами;

е) особые точки типа рис. 16.13, б называются седлами (седло всегда неустойчиво).

Особые линии для нелинейных систем. Реальные системы автоматического регулирования можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии.

За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной.

В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой, и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будут расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т.е. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» колебания определенной формы).

Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 16.14, а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе (рис. 16.10, б), но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на рис. 16.14, а. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это соответствует картине процесса во времени, изображенной на рис. 16.3, а. Такого вида замкнутый контур, представляющий собой наиболее важный для теории регулирования тип особых линий на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом.

Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла А и В (рис. 16.14, а) представляют амплитуды колебаний самой величины х и скорости ее изменения . Для определения периода автоколебаний надо обратиться к решению уравнений во времени.

Случаю устойчивости системы «в малом» и неустойчивости «в большом» (рис. 16.3, б), соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.14, б. граница начальных условий, до которой система устойчива, имеет чаще всего на фазовой плоскости вид неустойчивого предельного цикла, рис. 16.14, б, от которого в обе стороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это – второй важный тип особых линий, определяющей устойчивость системы «в малом» и неустойчивость «в большом».

Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивый предельный цикл (рис. 16.14, в), соответствующий автоколебаниям с большой амплитудой. Это соответствует процессам во времени, изображенным на рис. 16.3, г. такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий при достаточно больших отклонениях могут наблюдаться и в случаях апериодических процессов (рис. 16.12, б и рис. 16.13, б), включая превращения их в колебательные и наоборот. Например, картине процессов во времени, показанной на рис. 16.3, г соответствует картина фазовых траекторий, показанная рис. 16.14, е.

Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границе устойчивости (при чисто мнимых корнях), картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.8, б, может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима О. При больших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается, картина фазовых траекторий будет другой. Один из возможных вариантов изменения фазовых траекторий при больших отклонениях в этом случае показан на рис. 16.14, г. Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла и , что приводит фактически к неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл. Особые линии такого типа, как и (рис. 16.14, г) на фазовой плоскости называются сепаратрисами (третий тип особых линий). Особые линии более сложного очертания рассматриваться не будут.

Здесь говорилось пока о системах, которые при малых отклонениях могут рассматриваться как линейные. Но совершенно аналогичная картина получается и для таких нелинейных систем автоматического регулирования, которые даже «в малом» нельзя рассматривать как линейные. Таковыми являются многочисленные типы релейных систем, а также системы с зоной нечувствительности, с гистерезисной петлей, с сухим трением, с зазором. Интересно отметить, что некоторые из таких систем скорее «в большом», чем «в малом», могут приближаться к линейным, когда зона нечувствительности или зазор оказываются малыми по сравнению с величиной отклонений .

В системах с зоной нечувствительности и с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда установившемуся состоянию при данных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует ни одна точка, а целая область возможных равновесных состояний системы. На фазовой плоскости это выражается в том, что особая точка вытягивается в особый отрезок (рис. 16.14, д).

Заметим наконец, что координатами (х, у) фазовой плоскости могут служить не обязательно отклонения регулируемой величины и ее скорость, как было выше. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояние системы второго порядка в произвольный момент времени.

Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в системе автоматического регулирования температуры, рассмотренной выше. Координаты фазовой плоскости будут

и . (4.29)

Если , то согласно (4.10) и рис. 16.4, а переключение регулятора происходит при (лини EF на рис. 16.15); если же , то при (линия GH). Справа от линии переключения EFGH справедливо уравнение системы (4.12), а слева – (4.13).

Уравнение (4.12) в обозначениях (4.29) примет вид

, ,

откуда получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий

. (4.30)

Интегрирование его дает

, (4.31)

где – произвольная постоянная.

Каждому конкретному значению соответствует определенная кривая на фазовой плоскости. Семейство кривых, отвечающих различным значениям , изображено на рис. 16.15 справа от линии EFGH. Эти кривые имеют асимптоту . Направление движения изображающей точки по ним, показанное стрелками, определяется из условия , т. е. возрастает при и убывает при .

Уравнение (4.13) в обозначениях (4.29) будут

, (4.32)

что дает решение

,

согласно которому наносится семейство фазовых траекторий слева от линии EFGH (рис. 16.15).

В результате получится, что фазовые траектории расходятся от начала координат и сходятся из бесконечности, т. е. имеет место случай, аналогичный рис. 16.14, а, а значит где-то должен быть устойчивый предельный цикл. Он обозначен жирной линией на рис. 16.15.

Следовательно, в данной системе автоматического регулирования будут наблюдаться устойчивые автоколебания, к которым сходится переходной процесс с обеих сторон, т. е. при любых начальных условиях.

Автоколебательный процесс является здесь единственно возможным видом установившегося процесса, а строгое поддержание постоянной температуры () невозможно. Амплитуда колебаний температуры в данной системе регулирования изображена на рис. 16.15 отрезком а. Период же автоколебаний определяется решением уравнений во времени, как было сделано выше. Половины АВ и BD (рис. 16.15) предельного цикла соответствуют полупериодам АВ и BD (рис. 16.14, б) автоколебаний.

Отрезок g (рис. 16.15) изображает амплитуду скорости изменения температуры при автоколебаниях: это есть величина (4.18). Видно, что .

Перейдем к составлению уравнений нелинейных систем автоматического регулирования.

4.1.1 Уравнение систем с нелинейностью релейного типа

Следуя сделанным в § 16.1 замечаниям, приведем несколько примеров составления уравнений нелинейных систем релейного типа.

Система автоматического регулирования напряжения. Пусть имеется шунтовый генеротор постоянного тока (регулируемый объект) с вибрационным регулятором напряжения. Упрощенная принципиальная схема такой системы показана на рис. 16.16.

Когда контакты К под действием пружины П замкнуты, сопротивление, обозначенное через , выключено из цепи возбуждения 1. Система рассчитана так, что при этом напряжение на клеммах генератора возрастает (при любой реально возможной нагрузке в сети, на которую работает данный генератор). В результате увеличивается ток в катушке 2 электромагнитного реле, и якорь реле притягивается, размыкая тем самым контакты К. При разомкнутых же контактах К в цепь возбуждения включено сопротивление . Это вызывает снижение напряжения , а значит, уменьшение тока и отпускание реле, в результате чего контакты К снова замыкаются, выключая тем самым сопротивление из цепи возбуждения. Настройка системы на желаемое номинальное значение регулируемой величины производится установкой сопротивления .

Уравнение регулируемого объекта (генератора) представим в линейном виде:

, (4.33)

где – изменение сопротивления цепи возбуждения (регулирующее воздействие). Постоянная времени и коэффициент определяются параметрами якоря и цепи возбуждения.

Уравнение чувствительного элемента (катушки электромагнита 2) запишется в виде

. (4.34)

Начало отсчета величин , и будет определено ниже.

Регулирующий орган (контакты К, скачком включающие и выключающие сопротивление ) являются нелинейным звеном релейного типа. Выходная величина его – сопротивление цепи возбуждения – меняется скачкообразно при срабатывании и отпускании реле, т. е. в зависимости от величины тока в цепи катушки 2 электромагнитного реле. Это изображено на рис. 16.17, а, где и – токи полного срабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого нелинейного звена удобно, как всегда ввести отклонения и от некоторых постоянных значений и , как указано на рис. 16.17, а принимаем

, . (4.35)

Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 16.17, б, симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезисной петлей).

В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 16.17, б) будет

при , (4.36)

при , (4.37)

где выражение обозначает знак величины . Формулы (4.36) и (4.37) отвечают соответственно движению справа по линии ABCEF (рис. 16.17) и влево по линии FEDBA, причем в точках C и D происходит переключение реле (перескоки в точки Е и В соответственно).

Уравнения линейной части системы (4.33) и (4.34), имея в виду исследовать переходной процесс при , объединим в одно:

. (4.38)

Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных, определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегося режима

, ,

с использованием реальных характеристик генератора.

Система автоматического регулирования курса водяной торпеды. Возьмем описанную в § 1.3 простейшую схему (рис. 1.20). Уравнение вращения торпеды вокруг вертикальной оси (раскание по курсу) как регулируемого объекта запишем приближенно в виде

, (4.39)

где – угол отклонения торпеды от заданного направления; – ее момент инерции относительно вертикальной оси; – момент сопротивления среды (воды); – момент руля; – угол поворота руля. Разделив (4.39) на , получим уравнение регулируемого объекта в виде

, (4.40)