![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Было получено уравнение окружности с центром С(х0, у0) и радиусом r:
(х–х0)2 + (у–у0)2 = r 2 (25)
Из этого уравнения можно получить так называемое общее уравнение окружности: x2+y2+m×x+n×y+p=0. Заметим, что коэффициенты при х2 и у2 в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х2 и у2 будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс.
Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид:
(26)
Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А1(a, 0), А2(- а, 0), В1(0, b), В2(0, -b), называемые вершинами эллипса. Расстояние между вершинами |А1А2|=2 а и |В1В2|=2b называют осями, а числа а и b – полуосями эллипса (а >0, b>0). Из уравнения (15) эллипса видно, что эллипс – фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение:
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Фокусы F1(c, 0) и F2(–c, 0) построим, учитывая,
что (при а > b).
По определению сумма остается постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.
Рисунок - 38
Если центр симметрии эллипса расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса:
(27)
Рисунок - 39
В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости .
Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения:
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:
(28)
Как видно, коэффициенты при х2 и у2 имеют разные знаки.
Числа а и b (а >0 и b>0) называются полуосями гиперболы.
Точки А1(а,0), А2(– а,0), В1(0,b) и В2(0,–b) называют вершинами гиперболы.
Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А1, А2, В1, В2 параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот и
Через вершины А1(а, 0) и А2(- а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии – точки О(0,0) – они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.
Рисунок - 40
Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:
,
Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции .
Параболу в школьном курсе рассматривают как график квадратного трехчлена у= а х2+bх+с.
Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, это уравнение легко привести к виду
(х–х0)2=±2р×(у–у0) (29)
Рисунок - 41
Здесь точка С(х0, у0) – вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0) называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус – вниз.
Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид
(у–у0)2 = ±2р × (х–х0). (30)
Рисунок- 42
Отметим, что уравнение параболы содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 29), либо у (формула 30).
Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы.
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.
В заключение данного обзора кривых второго порядка отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий.
Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов.
Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т. д., убеждают в широком применении кривых второго порядка.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 227 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!