![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Тема 2
Аналитическая геометрия
Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
![]() |
Рисунок - 2
Здесь числа х2>х1>0, х3<0.
х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х3), F (x1), N(x2), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина | FN | = х2- х1.
Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
Рисунок - 3
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают: М (х, у, z).
Рисунок - 4
Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
Вектором называется направленный отрезок.
Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В – начало и конец направленного отрезка, либо символом
(малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
| | – длина вектора
,
| | – длина вектора
.
Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: | | = 0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и
коллинеарны, то записывают:
||
.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеютодинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =
.
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
![]() |
Рисунок – 5
Векторы и
коллинеарны, но не равны.
Векторы ,
,
,
, компланарны, так как лежат в параллельных гранях.
Векторы ,
,
равны:
=
=
.
В квадрате MNKZ векторы ,
,
,
, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что
=
и
=
.
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Здесь =
, но
¹
,
¹
, хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны: |
| = |
| = |
| = |
|.
Рисунок - 6
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой +
двух векторов
и
называется вектор
, идущий из начала вектора
в конец вектора
при условии, что начало вектора
совпадает с концом вектора
. Записывают:
![]() | ![]() | ||
Рисунок - 7 Рисунок- 8
Это правило называется "правилом треугольника" (Рисунок -7). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (Рисунок -8): если векторы и
приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой
и
этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов
и
.
Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего. На рисунке 9 построена сумма четырех векторов +
+
+
.
![]() |
Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах ,
,
, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (Рисунок 10):
=
+
+
.
Рисунок - 10
Произведением ×
вектора
на число
называется вектор
, коллинеарный вектору
, имеющий длину, равную |
|×|
|, одинаково с вектором
направленный в случае
>0 и противоположно с ним направленный в случае
<0. Записывают:
=
×
.
Когда =0, для любого вектора
произведение
×
равно нуль-вектору: 0 ×
=
.
Когда =1, 1×
=
.
Когда = -1, (-1)×
=-
- вектор, противоположный вектору
.
Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =
×
, где
- число, имеем два коллинеарных вектора
и
. Иначе говоря, равенство
=
×
является условием коллинеарности векторов
и
.
Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =
,
=
.
Требуется выразить через векторы и
вектор
, где О – точка пересечения медиан треугольника.
Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому
=2/3×
, где точка D – середина стороны СВ.
Рисунок - 11
Но вектор =1/2×
=1/2×
;
=-1/2×
.
В треугольнике САD вектор =
+
= -1/2×
+
.
Искомый вектор =-2/3(-1/2
+
)= 1/3×
-2/3×
.
Итак, =1/3×
-2/3×
. Заметим, что разность векторов
и
можно рассматривать как сумму вектора
и вектора, противоположного вектору
:
–
=
+(–1)×
=
+(–
).
В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =
–
=1/2×
–
.
Если вектор умножить на число 1/|
|, получим так называемый единичный вектор вектора
(или орт вектора
), который обозначается
0. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора
0=1/|
|×
=
/|
|; |
0|=1.
Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать ,
,
соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
1) +
=
+
– перестановочный закон сложения;
2) +(
+
)=(
+
)+
– сочетательный закон сложения;
3) ×(
×
) = (
×
)×
– сочетательный закон умножения на число;
4) ×(
+
)=
×
+
×
;
5) ( +
)×
=
×
+
×
– распределительные законы.
Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора – точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
![]() |
Рисунок - 12
Рисунок – 13
Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами.
Записывают: =(х, у) (Рисунок - 12).
В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z.
Записывают: =(х, у, z) (Рисунок 13).
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если даны координаты векторов и
=(х1, у1, z1),
=(х2, у2, z2) и
=
+
;
=
-
;
=
×
, то координаты векторов
,
,
легко находятся:
=(х1+х2; у1+у2; z1+z2),
=(x1-x2; y1–y2; z1–z2),
=(
×х1;
×у1;
×z1).
Видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
| |=|
|=
. (10)
В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.
Если вектор ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2, у2, z2), то легко найти координаты самого вектора
.
![]() |
Рисунок - 14
На рисунке 14 видно, что вектор можно получить как разность векторов
и
, где т. О – начало координат:
=
–
,
=(х1, у1, z1),
=(х2, у2, z2).
Тогда координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:
=(х2–х1; у2–у1; z2–z1).
Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора :
| АВ |=| |=
. (11)
Углом между векторами и
назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим.
![]() |
Рисунок - 15
Записывают ()=
.
Покажем угол между вектором и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через
. Пусть
=
.
![]() |
Рисунок - 16
Очевидно, что cos =
=
.
Обозначим через ,
,
углы между вектором
и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда
cos =
, cos
=
, cos
=
. (12)
Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:
cos2 +cos2
+cos2
=1. (13)
Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора
=
. (14)
В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами – скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначают скалярное произведение векторов и
символами
×
или (
,
).
Таким образом, по определению
×
=
×
×cos
, (15)
где – угол между векторами
и
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. ×
=
×
2.
3. ( +
)×
=
×
+
×
4. Если векторы и
взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е.
^
×
=0.
Условие ×
=0 поэтому и называют условием перпендикулярности векторов.
5. ×
=
. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора:
=
Если известны координаты векторов и
, то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если
=(х1, у1, z1) и
=(х2, у2, z2), то
×
=х1×х2+у1×у2+z1×z2
Условие перпендикулярности тогда примет вид: ^
x1×x2+y1×y2+z1×z2=0
Пусть, например, даны векторы = (2, –1, 2),
= (1, 0, 4),
= (3, 4, –1).
Найдем скалярные произведения
×
= 2 × 1 + (–1) × 0 + 2 × 4 = 10,
×
=2 × 3 + (–1) × 4 + 2 × (–1) = 0,
×
= 1 × 3 + 0 × 4 + 4 × (–1) = –1.
Мы обнаружили, что векторы и
образуют прямой угол.
Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле
. (16)
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 2861 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!