Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Системы линейных уравнений. В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид



Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (4)

……………………………………

am1x1+ am2x2 + …+ amnxn = bm;

где х1, х2, …, хn – неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (2.1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm – её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) и свободные члены bi (i=1, 2,…, m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (4) называется всякая совокупность чисел α1, α2, αn, которая будучи поставлена в систему (4) на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

(3 билет) Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

 
 


a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (5)

……………………………………

an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn;

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (5) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Аij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента аij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (5) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя , т.е. первое уравнение умножим на А1i, второе – на А2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на Аni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a11x1 + a12x2 + …+ a1ixi + …+ a1nxn) A1i + (a21x1 + a22x2 + …+ a2ixi +

+ …+ a2nxn) A2i + …+ (an1x1 + an2x2 + …+ anixi + …+ anxnn) Ani = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni

или, сгруппировав члены относительно известных x1, x2, …, xn, получим

(a11A1i + a21A2i + …+ an1Ani) x1 + … +

+ (a1iA1i + a2iA2i + …+ aniAni) xi + … +

+ (a1nA1i + a2nA2i + …+ annAni) xn =

= b1A1i + b2A2i + …+ bnAni. (6)

Коэффициент при неизвестной хi равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (6) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения (5). Следовательно, выражение b1A1i + b2A2i + …+ bnAni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆xi, будем иметь

a11 a12 … b1 … a1n

∆xi = a21 a22 … b2 … a2n.

………………………………

an1 an2 … bn … ann





Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 166 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...