Основные свойства определителей

У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n-го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A .

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. = .

2 . Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3 . Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (a) является линейной комбинацией двух других строк (b и c) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n-го порядка некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = + , где

– определитель, у которого i-я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а – определитель, у которого i-я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножение на произвольный множитель, то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.