Использование количественной теории важности критериев при принятии решений

При использовании количественной теории важности критериев для принятии решений используются следующие формы задания их (критериев) важности:

1) cтепень превосходства в важности одних критериев над другими (критерий в раз важнее критерия ), степень превышения важности критерия относительно критерия обозначается через , где , понятно, что при критерий в раз важнее критерия , при (для ) критерий в раз важнее критерия , при критерии и равно важны (эквивалентны по важности, т.е. ~ );

2) задание абсолютного значения важности критериев, количественно измеряемой по общей шкале важности, в этом случае важность критерия имеет величину , .

Первый способ задания важности критериев связан со вторым способом с помощью следующей формулы: , где - степень превосходства важности критерия над важностью критерия .

Утверждение о степени превосходства важности критерия над важностью критерия в раз обозначается следующим образом: . Для обозначения количественной информации о степенях превосходства важностей критериев введен в рассмотрение символ (т.е. – информация о важности критериев, характеризующая предпочтения ЛПР). Для использования количественной информации о важности критериев выполняется расширение исходной модели «качественной» важности критериев до так называемой -кратной модели ( -модели). Способ построения -модели может быть рассмотрен на основе примера, введенного в рассмотрение выше (определение студентов, наиболее предпочтительных с точки зрения успеваемости).

Для упомянутого примера качественная информация о важности критериев имеет вид: ~ . Допустим, что на основе качественной информации получена количественная информация в следующем виде:

~ .

С точки зрения изучаемых дисциплин, каждой из которых соответствует свой критерий , введенную в рассмотрение дополнительную информацию о важности критериев можно прокомментировать следующим образом. Предмет 3 (критерий ) состоит из двух разделов, каждый из которых эквивалентен предмету 4 (критерий ). Т.к. предмет 3 содержит два раздела, а предмет 4 один раздел, то . Предмет 1 (критерий ) состоит из трех разделов, каждый из которых имеет одинаковую важность с одним из двух разделов второго предмета (критерий ), поэтому . Рассмотрим для принятия решений на основе качественной информации о важности критериев полученное в предыдущем разделе множество . Расширенная модель принятия решений введена в рассмотрение следующим образом:

1) Исходное множество решений , для которого формируется расширенная -модель имеет вид ;

2) для каждого решения () его векторная оценка формируется путем повторения скалярной оценки (где – индекс решения, – индекс критерия) такое количество раз, сколько равноважных разделов содержит соответствующий j- ый предмет;

3) сформированная расширенная модель с учетом количественной важности критериев примет в этом случае следующий вид (формируются новые векторные оценки):

;

;

;

.

Полученные векторные оценки могут быть проинтерпретирована как состоящие из восьми критериев c одинаковой важностью. Число повторений для критериев определяется на основе значений , соответствующих этим критериям: для критерия : ; для : ; для : ; для : . Тогда -модель представляет собой совокупность количества повторений скалярных оценок для каждого критерия, т.е. -модель представляет собой вектор , где - количество критериев, который содержит количество повторений скалярных оценок каждого из критериев . Таким образом, -модель – это модель с скалярными оценками, где первые оценок – это повторение раз оценки в исходном векторе , вторые оценок – это повторение раз оценки в исходном векторе и т.д. Если -модель в виде сформирована, то отдельный коэффициент в аддитивной многокритериальной модели (аддитивная свертка) может быть определен следующим образом: .

Таким образом - модель – это совокупность чисел , каждое из которых определяет число повторений скалярной оценки из исходной векторной оценки в формируемом новом векторе значений.

Определение. Критерий в раз важнее критерия , если на основе -модели коэффициент важности может быть определен следующим образом: . При этом каждая из оценок критерия в формируемом векторе имеет равную важность с любой из оценок критерия в этом же векторе.

В соответствии с сформированным определением и введенным выше выражением вида приходим к выводу, что , где и - коэффициенты важности критериев. Владея информацией о значениях и может быть выполнен переход к значениям и , формирование -модели и ее использование для принятия решений.

Один из способов определения коэффициентов важности критериев предполагает из попарное сравнение по абсолютной важности. В ходе использования данного метода строится матрица парных сравнений критериев по важности. ЛПР указывает свои предпочтения относительно важности критериев следующим образом: если и , если . Тогда важность i- го критерия (выраженная коэффициентомх ), определяется формулой (), где . Если значения являются дробными (если дробная часть не равна 0), а значения должно быть строго целым, то для приведения к требуемому виду их необходимо умножить на соответствующее натуральное число. Рассмотрим пример для двух критериев.

Пример приведения дробных значений коэффициентов важности к целому виду:

1) ; , следовательно, коэффициенты должны быть умножены на 10, тогда ; ;

2) ; , следовательно, коэффициенты должны быть умножены на 100, тогда ; ;

Таким образом, если получены значения , то -модель может быть представлена в следующем виде: . Например, если , а то -модель имеет вид .

Пример построения -оценок для соответствующих -моделей.

1) если , исходная векторная оценка имеет вид , а -модель имеет вид , тогда - оценка будет представлена в виде ;

2) если , исходная векторная оценка имеет вид , а - модель имеет вид , тогда - оценка будет представлена в виде .

Использование количественной информации о важности критериев для поиска решения в многокритериальной задаче

В силу того, что в построенной - модели (соответственно, в оценках ()) все критерии являются одинаково важными, тогда для определения не доминируемых решений (решений , где - множество не доминируемых решений, сформированное на основе количественной информации о важности критериев) используются введенные выше условия вида: и хотя бы для одной оценки . Таким образом, формирование N -модели должно обеспечивает приведение всех критериев к одинаковой степени важности (все оценки в являются равными по важности). Для удобства выполнения действий по сравнению оценок вектора эти оценки могут быть предварительно упорядочены по убыванию. Таким образом, выполняется сравнение непосредственное сравнение оценок для соответствующих решений, устанавливается отношение предпочтения (доминирования) между оценками и , и, соответственно, между самими решениями (т.е. ).

Пример выбора недоминируемых решений на основе множества , полученного путем анализа качественной информации о важности критериев.

В процессе решения рассматриваются альтернативы . Оценки для них приведены в Таблице 1. Информация о степенях важности критериев имеет вид: ~ , т.е. -модель, имеет вид: . Оценки в соответствии с - модели следующие: ; ; ; . Для удобства дальнейших действий полученные оценок отсортированы по убыванию. В итоге имеем: ; ; .

Сточки зрения введенных условий для недоминирования (предпочтения) и доминирования решений имеем: , . Т.е. решения и не могут быть включены в множество недоминируемых решений (т.е. ). Сравнение оценок и показывает, что и , т.е. оценки и являются несравнимыми с использованием отношения . В итоге имеем , , , , где – отношение предпочтения, формулируемое с учетом количественной информации о важности критериев.

Понятно, что приведенный подход может быть применен непосредственно к множеству решений без выделения множества недоминируемых решений с использованием качественной информации о важности критериев.