Доказательство. Доказательство необходимости выполним на основе Рис.2

Доказательство необходимости выполним на основе Рис.2. Т.к. точки и лежит на одной кривой безразличия (изолинии функции полезности), то для них выполняется условие (с учетом предположения об аддитивности ):

.

Аналогичные условия выполняются для точек и :

;

.

Складывая второе и третье равенства и вычитая из полученной суммы первое, получим, что для точки выполняются:

т.е. условие соответственных замещений выполняется.

Доказательство достаточности выполним с точки зрения обоснования способа определения функций и в предположении, что условие соответственных замещений выполняется. Т.е. при обосновании процедуры, которая носит название процедуры совместного шкалирования (процедуры определения и ), проконтролируем выполнение условия соответственных замещений. Доказательство достаточности и обоснование процедуры определения функций и выполним с использованием Рис. 3.

Рисунок 3 – Реализация совместного шкалирования при аддитивной структуре

предпочтений.

I– первая кривая безразличия;

II– вторая кривая безразличия;

III– третья кривая безразличия.

Алгоритм формирования значений и имеет следующие шаги:

1) пусть и - наименьшие значения оценок соответствующих критериев и ; для координат , (решения с координатами ) предполагается, что ;

2) для значения параметра задается, что ; это будет первая кривая безразличия, которая характеризуется значением ; при этом ; т.е. (при )

3) определим такое значение второго критерия , что ~ (т.е. решение с координатами лежит на одной кривой безразличия с решением ), тогда ; т.к. коэффициенты , известны, то они соответствуют решению , которое не находится (не лежит) на кривой безразличия (т.е. не принадлежит кривой безразличия и );

4) т.к. решение является известным, тогда определяются решения и , которые лежат на одной кривой безразличия с ; таким образом для решений , , выполняется условие ~ ~ (или ~ ~ ); при этом значение и , задается следующим образом: ;

; ;

5) реализация предшествующих шагов процедуры позволяет определить, что в соответствии с условием соответственных замещений , тогда решения и являются одинаковыми (эквивалентными) по предпочтительности (т.е. ~ ) и принадлежит одной кривой безразличия;

6) т.к. значения критериев и для решений и определены, должны быть идентифицировать значения и такие, что для них выполняется условие:

~ ~ ~ ,

т.е. выбираются такие значения , для которых и формулируется приведенное условие; для решений с координатами , , , задается значение функции полезности ; откуда значения одномерных функций полезности определяются следующим образом ; ; итоги реализации данного шага является определение координат , , тех решений, которые лежат на следующей кривой безразличия ; при этом для решений с рассматриваемыми значениями критериев и выполняется условие эквивалентности (вытекающее из условия соответственных замещений) ~ ~ ;

7) продолжая действия подобным образом, должны быть получены значения и , которые входят в пары , ; эти значения (при условии присвоения соответствующих решениям значений ) используются при определении значений одномерных функций полезности , .

Итогом рассмотренной процедуры являются дискретные значения одномерных дискретных функций полезности решений по каждому критерию , где .

После формирования вида функций и с использованием введенного в рассмотрение метода необходимого выполнить агрегирование этих функций для получения многомерной (двумерной) функции полезности . Агрегирование функций и (получение обобщенной многомерной функции полезности ) используется выражение , где - коэффициент шкалирования. Для определения шкалирующего коэффициента необходимо:

1) на основе заключений ЛПР определить два эквивалентных решения и (т.е. ~ ), лежащие на одной кривой безразличия;

2) вычислить значение путем решения уравнения вида .

Пример реализации принятия решения на основе аппарата теории многомерной полезности.

Рассматривается задача покупки автомобиля. Параметрами, характеризующими решение (модель автомобиля), являются цены и пробег. Т.к. известно, что по мере роста цены на некоторый предмет (объект, приобретение и т.д.) полезность этого предмета (и в конечном итоге решения) стремится к 0. Т.е. при достаточно большой цене предмет (решение) становятся бесполезным. Наоборот, при небольшой цене полезность предмета (решения) является более значительной. Поэтому с точки зрения параметра «цена» полезность решения будет минимальный при большом значении этого параметра и максимальный при малом значении параметра. Поэтому в качестве критерия (свойства, характеристики решения) следует рассматривать критерий вида . Аналогичные рассмотрения могут быть выполнены с точки зрения параметра «пробег». Если пробег минимальный, то полезность решения будет являться значительной, если пробег значительный, то полезность решения наоборот будет являться минимальной. Поэтому в качестве второго критерия следует рассматривать критерий вида .

Диапазон значений для первого параметра решения (цена), на основании которого определяется критерий , заданы равным 5 тыс;50тыс или в единицах тысяч - 5;50 . Для определения многомерной функции полезности и одномерных функций , на интервале 5;50 определим следующие значения (дискретные значения), для некоторых значения функций будут вычисляться: 5, 10, 20, 50. Соответственно при переходе к критерию его значения будут определены на интервале 0.02;0.2 , а значения , которые будут рассматриваться следующие: 0.02; 0.05; 0.1; 0.2.

Аналогичным образом строятся рассуждения относительно критерия . Диапазон значений параметра «пробег», на основании которых определяются значения критерия , задан в виде 10;100 (измеряется в тысячах километров). Дискретные значения, для которых определяются значения функций , , заданы следующими: 10,40,70,100. Тогда при переходе к критерию диапазон значений получен в виде 0.01;0.1 , а дискретные значения критерия следующие: 0,01; 0,0143; 0,025; 0,1.

В результате для диапазонов 0.02;0.2 , 0.01;0.1 (значений 0,02; 0,05; 0,1; 0,2 и 0,01; 0,0143; 0,025; 0,1) сформирована двумерная функция полезности (в соответствии с приведенным алгоритмом) и одномерные функции полезности и . При переходе от значений критериев и к указанным выше значениям параметров «цена» и «пробег» одномерные функции полезности каждого из параметров получены в виде, представленном на Рис.4.

а)

б)

Рисунок 4 – Виды сформированных функций полезности и

а) функция полезности для параметра «цена»;

б) функция полезности для параметра «пробег»;

Так как дискретные значения функций и получены, тогда должны быть определены аналитические формы этих функций (для постановки в них произвольных значений рассматриваемых параметров, характеризующих решения). Т.к. в большинстве случаев функции являются нелинейными, то для них может быть задана следующая аналитическая форма: . Для определения коэффициентов в приведенных аналитических функциях применимы методы аппроксимации (данный в рабках лабораторной работы необходимо выполнить самостоятельно).

Т.к. вид двумерной функции полезности , тогда должен быть определен коэффициент масштабирования . Для этого должны быть определены два решения, являющиеся эквивалентными (лежащими на одной кривой безразличия), т.е. ~ . Допустим, что равноценными являются решения с , и , (пробег – 90 тыс. км, цена – 10 тыс. у.е.; пробег – 10 тыс. км, цена – 40 тыс. у.е.). Тогда получим . В итоге значение .

Т.к. аналитические формы выражений для и получены, значение вычислено, тогда могут быть определены значения при любых значениях входных параметров и . Результаты сравнения четырех вариантов решений сведены в Таблицу 1.

Таблица 1. Двумерная функция полезности в задаче выбора решения.

Вариант	Цена	Пробег
			0,5		1,525
				0,8	1,508
			1,5		1,708
			1,3	1,3	1,3

В результате эффективным решением является третье, у которого обобщенная функция полезности имеет максимальное значение.