Использование теории многомерной полезности для принятия решений

При реализации принятия решений в случае многих критериев (свойств, характеристик, решений) используется многомерная функция полезности, т.е. функция полезности, учитывающая для каждого решения его полезности по каждому критерию. Подход, определяющий использование многомерной полезности, рассмотрим на примере двух критериев (свойств, характеристик решений). Обозначим через и множества возможных значений каждого из критериев, - соответственно значения каждого из критериев для некоторого решения (т.е. ). Понятно, что множества значений и соответствующих критериев являются счетными и конечными. Если через обозначено некоторое -е решение , тогда это решение характеризуется парой значений (). В соответствии с постановкой задачи необходимо определить то решение , которое будет являться эффективным с точки зрения его общей полезности.

Основное понятие многокритериальной теории полезности (теории многомерной полезности) – это понятие замещения по полезности или просто замещения. Понятие замещения по полезности (в дальнейшем замещения) связано с предположением о том, что приращение по одному критерию может быть скомпенсировано путем уступки по другому критерию . Для увеличения оценки полезности по второму критерию на требуется выполнить уступку по первому критерию - (т.е. для первого критерия найдется такая уступка - , которая обеспечит увеличение второго критерия на ). Если и - некоторые решения, тогда () – значения критериев, соответствующие решению , а () (или же ()) – значения критериев, соответствующие решению .

Если существует возможность уступки по первому критерию (уступки - ) для решения с целью получения нового решения с увеличением для него на значения критерия , тогда решение эквивалентно решению с точки зрения общей полезности (полезность решения равна полезности решения , решение эквивалентно решению , ~ ). Данный факт может быть обозначен следующим образом: ~ , либо если , то ~ . Аналогичным образом может быть выполнен переход из точки с координатами в точку с координатами , где и - уступки и приращение, соответствующие переходу отрешения к решению . При этом ~ и ~ . Тогда могут быть сформированы все возможные замещения для каждого решения (полученные точки , и т.д.) т.е. получено множество точек критериального пространства , которые эквивалентны решению с точки зрения общей полезности (полезности по двум критериям). Точки такого (одного) множества образуют одну кривую, называемую кривой безразличия. Точки, лежащие на разных кривых безразличия, имею разную полезность (обладают разной полезностью).

Понятия замещения для решений и , а также кривых безразличия прокомментированы на Рис.1.

a)

б)

Рисунок 1 – Замещение по полезности и кривые безразличия для двух критериев

а) замещение по полезности; б) кривые безразличия для двух критериев

Обозначив общую полезность решения (многомерную функцию полезности) имеем, что , , , т.е. полезность решений при переходе по кривой безразличия не изменяется. Решения , , , которым соответствуют , , являющиеся эквивалентными, лежат на одной кривой безразличия.

Кривые безразличия – это линии одинаковых значений двумерной функции полезности , согласованных с предпочтениями ЛПР (с предпочтениями ЛПР согласуются значения двумерной функции полезности ). Под согласованностью следует понимать выполнение следующих условий, связанных с кривыми безразличия:

,

где и - разные кривые безразличия, соответствующие решениям и , лежащим на них.

Т.к. понятие замещения связано с приращением одного критерия за счет уступок по другому критерию, то в рассмотрение должен быть введен коэффициент замещения, обозначенный через . Если в точке за единиц критерия можно уступить единиц критерия , тогда предельный коэффициент замещения в точке равен (Рис. 1а)). Тогда при наличии кривых безразличия могут быть вычислены локальные коэффициенты замещения в каждой точке. Понятно, что коэффициент в общем виде не является постоянным, а зависит от вида кривой безразличия и выбора точки на этой кривой. Т.е. при использовании даже одной кривой безразличия и разных точек на ней могут быть получены разные коэффициенты .

Для формирования вида многомерной (двумерной) функции полезности необходимо выполнить априорное задание свойств предпочтений (условий, которым должны удовлетворять предпочтения), которые приводят к удобным видам функции полезности. Таким образом, должно быть определено условие, обеспечивающее существование простых (в частном случае, аддитивных) функций полезности , т.е. предпочтения по каждому из критериев (предпочтения по группе критериев) должны быть такими, чтобы обеспечивать существование аддитивной функции полезности. В общем виде аддитивная функция полезности имеет форму:

,

где – j- я функция полезности для j- го критерия. В частном случае двух критериев и аддитивная функция полезности имеет вид: .

Условием, определяющим существование аддитивной (в частном случае, двумерной) функции полезности является условие соответственных замещений. Условие соответственных замещений может быть прокомментировано следующим образом на основе Рис. 2. Для формулировки условия рассматриваются четыре точки (решения): с координатами , с координатами , с координатами и с координатами . В точке за увеличение на единиц необходимо заплатить (уступка) единиц, в точке за увеличение на единиц необходимо заплатить единиц, в точке за увеличение на единиц необходимо заплатить единиц. Сколько необходимо заплатить в точке , чтобы получить увеличение на единиц.

Рисунок 2 – Изменение значений критериев для условия соответственных замещений

Условие соответственных замещений предполагает, что если при заданных условиях для точек , значениях получим, что для приращения в точке дополнительно по критерию единиц необходимо заплатить (уступка) единиц по критерию , то условие замещения выполняется. Таким образом, условие соответственных замещений выполняются, если для точки (решения) при увеличении на единиц необходимо заплатить (уступка) единиц по . Выполнение условия соответственных замещений гарантирует аддитивный вид функции полезности: . Существование аддитивной функции полезности обосновывается в соответствующей теореме Льюиса-Тьюки (формулируемой ниже), в доказательстве которой сформулирован способ (алгоритм) построения изолиний функции полезности (линий одинаковых значений функции полезности), определения на их основе вида функций и . При этом данный алгоритм обеспечивает выполнение условия соответственных замещений для формируемых изолиний аддитивной функции полезности и вида функций и . Т.е. реализация алгоритма обеспечивает определение , , изолиний при выполнении условия соответственных замещений.

Теорема о существовании аддитивной функции полезности (Льюиса-Тьюки). Структура предпочтений аддитивна, т.е. аддитивная функция полезности существует тогда, когда выполняется условие соответственных замещений.