Обозначение для отношения

Если пара , то ( находится в отношении с ). Множество – область задания отношений (отношения ).

Способы задания отношений:

1. Задание матрицей. Если множество состоит из элементов, то элементы могут быть проидентифицированы индексами такими, что ; тогда для решений может быть введена в рассмотрение матрица размерности .

При этом если , то, a_ij=1; если не является верным (т.е. ), то a_ij=0, тогда общее правило определения элементов матрицы следующее ():

при этом ; .

Пример 1. Задание вида матрицы (при ).

Заметим, что a_ii=0, (т.е. в данном (общем) рассматриваемом случае ).

2. Задание графом. Графом называется пара , где – конечное множество вершин, (гамма) – конечное подмножество произведения , множество дуг, соединяющих вершины; дугу, соединяющую вершину с вершиной , обозначим как .

Если множество решений (альтернатив) однозначно соответствует множеству вершин графа , тогда дуга соединяет две вершины и в том случае, если выполнено отношение .

Если задан граф с n вершинами (где ), нумерация вершин соответствует нумерации решений (альтернатив) из , тогда на графе (для элементов множества ) задаётся отношение такое, что при на графе определяется дуга (формируется дуга) .

Пример 2. Задание графа отношения (Рисунок 1).

x2 x1 x3 а)

x3 x1 x2 б)

Рисунок 1 – Виды графов отношений

3. Задание сечением. Верхнее сечение множества (отношения) обозначается как (т.е. определяется для каждого элемента множества ) и формируется в соответствии с выражением вида:

.

Если – отношение предпочтения (доминирования), то для элемента верхнее сечение отношения – это те решения , которые предпочтительнее, чем рассматриваемое решение . Нижнее сечение отношения определяется аналогичным образом:

Таким образом, – те элементы (решения) , которые находятся с элементом в отношении ; – те элементы (решения ), с которыми фиксированный элемент находится в отношении .