II. Отображение в сфере

Пусть имеется проводящий шар радиуса и точечный заряд (рис. 4.44). Расстояние между центром шара и точкой расположения точечного заряда . Заряд шара . Требуется найти электростатическое поле вне шара. Внутри шара поле . Вне шара диэлектрическая проницаемость среды .

Рис. 4.44. Проводящий шар в поле точечного заряда

При постановке эквивалентной задачи сохраним поле вне шара. Для этого мы оставим без изменения расположение точечного заряда (рис. 4.45).

Рис. 4.45. Эквивалентная задача задаче о проводящем шаре в поле точечного заряда

Граничные условия на поверхности проводящего шара, которые необходимо выполнить в эквивалентной задаче, следующие:

, (4.62)

. (4.63)

Первое условие можно переписать так

.

Потребуем еще более строгое граничное условие на и попробуем его выполнить, и а именно:

.

Для выполнения последнего граничного условия поместим на отрезке, соединяющем точку и точку расположения точечного заряда, на расстоянии от точки точечный заряд , причем . Величину и конкретное расположение точечного заряда определим из последнего граничного условия. Вместо него можно записать:

.

Отсюда

.
Обозначим

.
Здесь и ‑ расстояния от произвольной точки на поверхности соответственно до точек расположения исходного точечного заряда и фиктивного точечного заряда . Среда во всем пространстве эквивалентной задачи имеет диэлектрическую проницаемость .

Итак, заряд должен быть помещен в такую точку, чтобы отношение не зависело от положения точки на поверхности . Следовательно, это отношение не должно зависеть от угла (рис.4.45). Но

.
Или:

;

.

Это равенство должно выполняться при любом , а так как константа и ‑ линейно независимые функции, то должны быть равны нулю как коэффициент при , так и эта константа.

Следовательно,

.

Отсюда

.

Подставляя в выражение для указанной константы вместо найденное выражение и приравнивая константу к нулю, получим:

.
Или

,

.

Так как и, следовательно, , то . Отсюда

(4.64)

и

. (4.65)

Точки расположения исходного заряда и фиктивного называют взаимными или инверсными относительно сферы радиуса . Об этом свидетельствует равенство (4.64).

Подставим в выражение для найденное (4.65):

.
Отсюда и, следовательно,

(4.66)

Итак, найдены величина фиктивного заряда (4.66) и его место расположения (4.65).

Так как , то из выражения (4.64) следует, что .

Из формулы (4.66) следует, что заряд противоположного знака по сравнению с зарядом . Кроме того, из неравенства и (4.66) следует, что .

Для выполнения граничного условия (4.63) поместим в точку эквивалентной задачи второй фиктивный заряд . Очевидно, для того, чтобы выполнялось граничное условие (4.63), он должен быть найден из условия , т.е.

.

Очевидно, помещение фиктивного заряда в указанную точку не нарушит выполнения граничного условия (4.62). Заметим, что при заряд .