Теорема эквивалентности

Пусть поле создано некоторой совокупностью зарядов (рис. 4.40).

Рис. 4.40. Совокупность зарядов, создающих электростатическое поле

Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность . Допустим, что заряды внутри известны, а вне неизвестны.

Поставим такой вопрос: чем можно заменить информацию о внешних зарядах?

Теорема эквивалентности (теорема единственности решения краевых задач электростатики) гласит, что информация о зарядах вне может быть заменена другой эквивалентной информацией, а именно, описанием распределения на

либо либо

либо потенциала либо нормальной производной

Итак, поле внутри области, ограниченной поверхностью , однозначно определено заданием зарядов внутри и распределением потенциала или его нормальной производной на поверхности . Т.е. потенциал поля внутри может быть найден как решение одной из следующих краевых задач

внутри на		внутри на
Краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона		Краевая задача Неймана для уравнения Пуассона

Доказательство теоремы эквивалентности основывается на теоремах единственности решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. Т.е., если будет доказано, что поле, определяемое решением, например, задачи Неймана для уравнения Пуассона, единственно, то тем самым будет доказано, что указанная информация на заменила информацию о зарядах. Аналогично для задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Докажем единственность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Предположим противное, а именно, что существуют два различных решения задачи и , удовлетворяющих условиям задачи. Образуем разностное скалярное поле . Тогда, очевидно, это поле будет удовлетворять условиям:

внутри

на .

Таким образом, разностная функция гармоническая и она равна нулю на границе рассматриваемой области. По теореме о максимуме и минимуме для гармонических функций, она равна нулю и во всех точках внутри , т.е. . Это противоречие доказывает единственность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Для доказательства единственности задачи Неймана для уравнения Пуассона воспользуемся первым тождеством Грина (1.31):

.

Также предположим противное, а именно, что задача имеет два различных решения и , удовлетворяющих условиям задачи. Образуем разностную функцию . Она, очевидно, удовлетворяет условиям:

внутри

на .

В первом тождестве Грина в качестве функций и возьмем функцию . Тогда, очевидно, получим

.
Здесь – объем, ограниченный замкнутой поверхностью .

Из последнего равенства следует, что внутри . Следовательно , т.е. . Но . А это означает, что

.

Задача имеет единственное решение для напряженности электрического поля, что является определяющим, а потенциал является вспомогательной функцией.

Вопросы и задачи к лекции 26

281-1. Запишите уравнения для электростатического потенциала для разных случаев.

282-2. Выведите граничные условия для электростатического потенциала.

283-3. Из каких этапов складывается постановка краевой задачи?

284-4. Сделайте постановку краевой задачи для следующей физической задачи (рис. 4.41):

Рис. 4.41. Диэлектрическое тело в поле точечного заряда

Геометрия, величина заряда и диэлектрическая проницаемость заданы.

285-5. Сформулируйте и докажите теорему эквивалентности.