Векторы поляризации и электрического смещения. Постулат Максвелла

Лекция 22

Уравнения Максвелла для поля в среде

Векторы поляризации и электрического смещения. Постулат Максвелла

Мы приступаем к изучению электромагнитного поля в среде. Начнем с диэлектриков, помещенных в электрическое поле неподвижных зарядов. В диэлектриках, в отличие от металлов и электролитов, нет зарядов (точнее почти нет), могущих перемещаться на значительные расстояния и переносить ток.

Диэлектрики построены либо из нейтральных молекул (все газообразные и жидкие диэлектрики и часть твердых), либо из заряженных ионов, закрепленных в определенных положениях равновесия (например, в узлах кристаллической решетки). В целом диэлектрик нейтрален.

Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав диэлектрика, не «срываются» полем со своих мест, а лишь несколько смещаются из положения равновесия в некоторые новые равновесные положения. Говорят, диэлектрик поляризуется.

Это его новое состояние можно характеризовать в каждой точке вектором поляризации. Вектор поляризации это электрический момент единицы объема диэлектрика, т.е.

или (4.1)

Рис. 4.1. Диэлектрик в электрическом поле

– дипольный или электрический момент зарядов, расположенных в физически бесконечно малом объеме ; – дипольный момент i -ой молекулы. Заряды диэлектрика будем считать неподвижными.

Под напряженностью электрического поля внутри диэлектрика будем понимать усредненное значение истинной напряженности по физически бесконечно малому объему

. (4.2)

В дальнейшем нам придется находить уравнения для макроскопических (усредненных) величин, исходя из уравнений для микроскопических величин. При этом нам придется пользоваться следующими равенствами

и .
Второе равенство сразу следует из (4.2). Докажем первое:

Среднее значение в точках М и М´ равно:

, .
Здесь и ‑ два одинаковых шара, центры которых смещены вдоль х на величину (рис. 4.2).

Рис. 4.2. К выводу равенства для производных по координате

.
Но ;

; ;

; .
Поэтому

.

.

С другой стороны

,
что и требовалось доказать. Здесь была использована математическая теорема Гаусса-Остроградского.

В отсутствии диэлектриков

.
Внутри диэлектрика для микроскопических величин

Здесь и соответственно плотность свободных и связанных зарядов.

Возьмем среднее по физически бесконечно малому объему от левой и правой частей с использованием только что доказанного свойства

.

Мы обозначим , , а выразим через .

Выделим в диэлектрике объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Диэлектрик в поле точечного заряда

Поверхность S пересечет некоторое число молекул так, что одни из зарядов этих молекул окажутся вне объема V, а другие внутри него. Поэтому в V может оказаться суммарный связанный заряд. Найдем его.

Рис. 4.4. «Перерезание» диполей элементарной площадкой

Элемент пересечет все те диполи, центры которых расположены в прилегающем к нему слое толщины (рис. 4.4)

.
Здесь N – число диполей в единице объема. Следовательно, число диполей, рассекаемых элементом

Нескомпенсированный заряд, в объеме V за счет этого пересечения:

.
Следовательно:

.

Суммарный связанный заряд, попавший внутрь замкнутой поверхности:

.
Здесь использована математическая теорема Гаусса-Остроградского.

С другой стороны:

,
т.е.:

.

Отсюда . Поэтому:

,

.

По определению сумма называется вектором электрического смещения и обозначается через .

, (4.3)

(4.4)

– постулат Максвелла в дифференциальной форме.

(4.5)

– постулат Максвелла в интегральной форме.

Очевидно, чем больше напряженность электрического поля в диэлектрике, тем больше он поляризуется, т.е. тем больше вектор поляризации :

. (4.6)

Коэффициент называется электрической восприимчивостью или поляризуемостью диэлектрика. Для некристаллических диэлектриков – скаляр, для некоторых диэлектриков зависящий от (). В этом случае:

.
Или

, . (4.7)

Это материальное уравнение для электрического поля в среде. называется диэлектрической проницаемостью среды, – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для кристаллических диэлектриков в выражении (4.6) является тензором, т.е.:

,

,

.

В этом случае и в материальном уравнении (4.7) величины и будут тензорами.