Спектральный анализ

Для получения прогнозных результатов в практических исследованиях довольно широко используются методы, основанные на использовании элементов спектрального анализа. Данные методы позволяют достаточно точно описывать процессы, динамика которых содержит колебательные или гармонические составляющие. В этих процессах рассматриваются четыре компоненты временного ряда:

- вековой уровень, описываемый гладкими апериодическими функциями;

- сезонные колебания с двенадцатимесячным периодом;

- колебания с периодом большим, чем сезонные, но меньшим, чем у соответствующих колебаний векового уровня;

- случайные колебания с широкими по диапазону периодами, но с небольшой интенсивностью.

Для описания и прогноза первой составляющей эффективно используются такие методы, как скользящая средняя, экспоненциальное сглаживание, гармонические веса. Использование одного из этих методов позволяет выделить, отфильтровать негармоническую составляющую процесса. Для оставшихся гармонических составляющих процесса используется представление в виде тригонометрического полином.

Непосредственно для прогнозирования непериодической составляющей предлагается использовать фильтрацию временных рядов с помощью взвешенных средних.

Вычислительная процедура получения прогнозов зависит от того, исследуется ли просто динамика (суммарная детерминированная составляющая) ряда или структура временного ряда (разбиение детерминированной составляющей). В первом случае реализуется метод оценки взвешенных средних (согласованных фильтров).

Схема расчетов при исследовании динамики рядов такова. На первом шаге по критерию Стьюдента проводится оценка параметров согласованных фильтров. На втором шаге определяется статистическое качество полученных результатов, т.е. по критерию Дарбина – Уотсона проводится проверка случайной составляющей на автокорреляцию и вычисляются значения коэффициентов вариации оценок параметров. На третьем шаге согласований фильтр используется для прогноза.

В случае когда целью исследования является определение структуры временного ряда, применяется метод оценки детерминированной составляющей в виде явной функции времени.

На первом шаге расчетов решается характеристическое уравнение и восстанавливаются искомые функции времени. На втором шаге производится оценка линейных параметров найденных функций времени и оценивается покомпонентное разбиение суммарной детерминированной составляющей. На третьем шаге – оцененная (в виде явной функции времени) суммарная порождающая функция применяется для экстраполяции исследуемого показателя.

Метод группового учета аргументов.

В настоящее время большую популярность для конкретных задач прогнозирования приобретает так называемый метод группового учета аргументов (МГУА), представляющий собой дальнейшее развитие метода регрессионного анализа. Он основан на некоторых принципах теории обучения и самоорганизации, в частности на принципе «селекции», или направленного отбора.

Метод реализует задачи синтеза оптимальных моделей высокой сложности, адекватной сложности исследуемого объекта (здесь под моделями понимается система регрессионных уравнений). Так, алгоритмы МГУА, построенные по схеме мaccoвой селекции, осуществляют перебор возможных функциональных описаний объекта.

Рассматриваются различные сочетания входных и промежуточных переменных, и для каждого сочетания строится модель, причем при построении рядов селекции используются самые регулярные переменные. Понятие регулярности является одним из основных в методе МГУА. Регулярность определяется минимумом среднеквадратической ошибки переменных на отдельной проверочной последовательности данных (исходный рад делится на обучающую и проверочную последовательности). В некоторых случаях в качестве показателя регулярности используется коэффициент корреляции. Ряды строятся до тех пор, пока регулярность повышается, т.е. снижается ошибка или увеличивается коэффициент корреляции. Таким образом, из всей совокупности моделей выбирается такая, которая является оптимальной с точки зрения выбранного критерия.

Среди основных алгоритмов МГУА наибольший интерес представляет обобщенный алгоритм, обеспечивающий получение наиболее точных моделей благодаря использованию в качестве опорной функции аддитивной и мультипликативной моделей трендов.

С целью сокращения числа входных аргументов в обобщенном алгоритме используется алгоритм последовательного выделения трендов для выбора оптимальной опорной функции, после чего осуществляется перебор всех возможных комбинаций выделенных трендов, либо в классе сумм, либо в классе произведений.

В случаях когда процесс описывается большим числом переменных, использование обобщенного алгоритма затруднено и для сокращения перебора рекомендуется применять алгоритм с многофазной селекцией проекторов (операторов ортогонального проектирования). Понятие проектора введено в МГУА по аналогии с графическим представлением метода наименьших квадратов, согласно которому вектор выходной величины проектируется на плоскость аргументов. В соответствии с этим все алгоритмы МГУА рассматриваются как варианты последовательного проектирования выходной величины на плоскости переменных на каждом ряду селекции.

Прогноз называется системным, если одновременно прогнозируются не менее m характеристических переменных системы. Переменные прогнозируются одновременно, шаг за шагом. При этом устраняется один из основных недостатков однократного прогноза — аргументы уравнений прогнозирования «не стареют» (носят последние по времени отсчета индексы).

Многократный прогноз можно вести на основе как алгебраических, так и дифференциальных или интегральных уравнений.

При получении долгосрочных дифференциальных прогнозов важным является установление устойчивости поведения системы. Наиболее распространенным способом установления области устойчивости (для линейных моделей) являются методы Ляпунова, критерии Гурвица — Рауса.

При реализации прогнозов важно установить критерий качества полученных прогнозных результатов. Так, для краткосрочного прогноза в качестве критерия селекции предлагается использовать критерий регулярности - величину среднеквадратической ошибки, определяемой на точках проверочной последовательности, не участвующей в получении оценок коэффициентов. Для среднесрочных прогнозов предлагается использовать критерий несмещенности как более эффективный. При наличии информации об изменении взаимосвязанных переменных появляется возможность использовать критерий, который является одним из наиболее эффективных при долгосрочном прогнозировании, именно критерий баланса переменных, т.е. минимизации суммы квадратов рассогласований самих значений промежуточных переменных и их модельных представлений. Данный критерий определяет «жесткость», неизменность структуры исследуемого объекта.