Символьное решение

Для символьного решения уравнения надо:

· набрать решаемое уравнение и синим уголком курсора выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение;

· в главном меню выбрать команду Symbolics / Variable / Solve (Символьные вычисления / Переменная / Решить). Появится ответ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Символьное решение уравнения

Недостаток использования меню Symbolics в том, что найденное решение не пересчитывается автоматически при изменении выражения или входящих в него величин и не участвует в последующих расчетах.

Достоинством использования меню Symbolics является то, что ранее принятые численные значения величин не учитываются в символьных расчетах.

Если выделенное выражение не имеет символьного решения (а большинство уравнений не имеет символьного решения), то Mathcad сообщает об ошибке No solution was found (Решение не найдено).

В Mathcad есть и другие возможности символьного решения уравнений, например, с использованием функции root (на рис. 2.4 внизу). Об остальных возможностях символьных вычислений рассказано в электронной книге. ..\Электронная книга1\TOC-символ.mcd.

Численное решение (функция Root)

Из ряда функций, позволяющих решить алгебраические уравнения, рассмотрим функцию root.

Обращение к функции: root(f(x),x), где f(x)=0. Возвращает значение x, при котором функция f(x)=0.

Функция root решает уравнения итерационным методом секущих и, поэтому требует перед собой задания начальных значений. Кроме того, функция root, производя вычисления методом спуска, вычисляет и выводит только один корень, ближайший к начальному приближению.

Перед решением уравнения желательно построить график функции f(x) (рис. 2.5). На графике видно, пересекает ли кривая f(x) нулевую линию, то есть имеет ли действительные корни. Если есть точки пересечения кривой с осью, то надо выбирать начальное приближение поближе к значению корня. Если корней несколько, для нахождения каждого корня надо задавать свое начальное приближение.

Рис. 2.5. Численное решение уравнения

Если точек пересечения нет, то корни уравнения могут быть только мнимыми числами. Для их нахождения надо задавать начальное приближение в комплексной форме. В результате расчета корни уравнения появляются в комплексном виде.

ВНИМАНИЕ

Для ввода мнимой единицы надо на клавиатуре набрать 1i или 1j. При выходе из области мнимого числа единица исчезает, и мы видим комплексное число в обычном виде.

С помощью функции root можно найти и экстремум функции, приравнивая производную нулю, (см. рис. 2.5). Функции должно предшествовать начальное приближение (по умолчанию )

Для нахождения экстремума функции следует:

· задать начальное приближение поближе к экстремуму;

· записать выражение с функцией root, включив в качестве функции, которая должна быть равна нулю, производную по заданной переменной;

· вычислить значение заданной функции от найденного корня уравнения . Экстремум найден (см. рис. 2.5).

Функция root позволяет решить уравнение и в символьном виде. При этом начальное приближение не требуется. Надо лишь ввести выражение, содержащее функцию root, и выбрать символьный знак равенства, нажав клавиши Ctrl+. (точка). Если символьное решение существует, появится ответ, содержащий сразу все корни уравнения, а не один, как при численном решении уравнения (см. рис. 2.4).

Подробнее о решении уравнений ..\Электронная книга1\root.mcd

2.5. Решение систем уравнений (функция Find)

В Mathcad системы уравнений решаются с помощью вычислительного блока given – find. Так как решение систем уравнений осуществляется итерационным методом, перед решением необходимо задать начальные приближения для всех неизвестных.

Чтобы решить систему алгебраических уравнений, нужно:

· задать начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему;

· напечатать ключевое слово given (Дано). Убедитесь, что при печати вы не находитесь в текстовой области. Если нажать клавишу < пробел >, то математическое выражение становится текстовой областью и слово given перестает восприниматься как ключевое;

· ввести уравнения и неравенства, входящие в систему, правее и ниже ключевого слова given. Между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства. Это не знак присвоения значения, а знак логического равенства. Для его ввода используйте сочетание клавиш Ctrl+= или выберите его в панели Boolean (Булевы операторы);

· ввести любое выражение, содержащее функцию find. При печати слов given и find можно использовать любой шрифт, прописные и строчные буквы.

Обращение к функции: find(x, y, z), где x, y, z — неизвестные. Число неизвестных должно быть равно числу уравнений. Возвращает значения неизвестных x, y, z, обращающих уравнения в тождества.

Функция find может решать и одно уравнение с одним неизвестным, как частный случай системы уравнений.

Для системы из нескольких уравнений функция find выводит решение в виде вектора.

Пример решения системы уравнений приведен на рис. 2.6. Заданная система уравнений состоит из уравнения окружности и уравнения прямой линии. Если прямая и окружность пересекаются (рис. 2.8), то для нахождения двух точек пересечения надо задавать два разных начальных приближения. Если окружность и прямая не пересекаются, действительных корней нет. Для нахождения мнимых корней надо задавать начальное приближение в виде комплексного числа.

Рис. 2.6. Решение системы уравнений

Функция find, также как и функция root, позволяет решать системы уравнений и в численном, и в символьном виде (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Символьное решение системы уравнений

Если система уравнений не имеет точного решения, то для приближенного решения в Mathcad существует функция minerr. Обращение к ней и использование функции не отличаются от функции find.

На рисунке 2.8 представлена геометрическая интерпретация системы уравнений в виде окружности и прямой линии. Если прямая пересекает окружность, корни системы уравнений действительные, если не пересекает, то мнимые.

Подробнее о решении системы уравнений ..\Электронная книга1\find.mcd.

2.6. Приближенное решение систем уравнений (функция Minerr)

Для приближенного решения систем уравнений используется вычислительный блок Given-minerr. Обращение к нему аналогично обращению к блоку Given-find.

Если решение системы уравнений существует x + y = 2 (рис. 2.8), функция minerr дает тот же ответ, что и функция find. Если решение системы уравнений не существует, функция minerr возвращает минимум невязки решения. В случае x + y = 10 функция minerr возвращает значение координаты x, при котором расстояние между кривыми минимально.

Рис. 2.8. Приближенное решение системы уравнений, если прямая не пересекается с окружностью

Функцию minerr удобно использовать для поиска экстремума негладких функций с переломами и скачками на графике.

Подробнее о приближенном решении уравнений ..\Электронная книга1\minerr.mcd.

2.7. Исследование функции на экстремум

Отметим три пути поиска экстремума.

1. Для непрерывной функции используем равенство нулю производной от заданной функции. В этой процедуре используют функцию root.

2. Для функции с переломами используем функцию minerr. Для этого по графику выбираем число заведомо большее (или меньшее) экстремального значения функции и записываем его в качестве ограничения в блоке given-minerr. Функция minerr возвращает значение аргумента, при котором расхождение между заданным числом и значением функции минимально.

3. Для непрерывных функций удобно использовать функции maximize и minimize (они вводятся аналогично применению функции find. Ключевое слово given обычно можно опустить. Оно необходимо лишь в случае наличия ограничений.

СОВЕТ

При анализе конкретного уравнения желательно внимательно изучить поверхностный график функции, на котором хорошо видны области нахождения экстремумов.

Все три способа определения экстремумов функции имеют свои плюсы и минусы. Творческий подход к их выбору почти всегда позволяет правильно найти экстремумы функции.

На рис. 2.9 в качестве функции приведена кубическая парабола и показан ее график с двумя экстремумами (максимумом и минимумом). На рис. 2.10 – 2.12 показано определение этих экстремумов всеми тремя способами. Результаты расчета естественно совпадают.

Рис. 2.9 Заданная функция и ее график

Рис. 2.10 Нахождение экстремума функции путем приравнивания нулю ее первой производной

Рис. 2.11 Нахождение экстремума функции с использованием функции minerr

Рис. 2.12 Нахождение экстремума функции с помощью функций minimize и maximize

Подробнее о нахождении экстремума функции ..\Электронная книга1\minimax.mcd

2.8. Работа с матрицами

Преимущества Mathcad особенно видны при работе с матрицами. Операции с матрицами особенно трудоемки и, как правило, требуют компьютерного программирования. В системе Mathcad мы видим традиционную запись матричных выражений, как на обычном листе бумаги, но уже с готовым численным или символьным ответом.
Создание матриц

Чтобы определить вектор или матрицу, следует:

· записать имя матрицы, ввести оператор присваивания (:=);

· в математическом меню выбрать кнопку с изображением матрицы. Откроется панель Matrix, на которой вновь выбрать кнопку с изображением матрицы. На этот раз откроется диалоговое окно, в котором надо ввести число строк и число столбцов матрицы и нажать кнопку ОK. На экране появится шаблон матрицы. То же действие вызывает нажатие сочетания клавиш Ctrl+m.

· каждое место ввода в шаблоне заполнить числами или буквенными выражениями. Матрица готова.

С помощью шаблона можно ввести матрицу, содержащую не более 100 элементов. Как ввести матрицы больших размеров, рассказано в электронной книге ..\Электронная книга1\MATRIX1.MCD.

Вектор — это матрица, состоящая из одного столбца.

Доступ к любому элементу матрицы можно получить через имя матрицы с двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки, второй индекс — номер столбца. Произвольный элемент вектора задается одним индексом.

Для набора нижнего индекса можно открыть панель Vector and Matrix Toolbar нажатием соответствующей кнопки математической панели, после чего щелкнуть кнопку Xn (Subscript), но лучше использовать клавишу ([) (открывающая квадратная скобка), так как при работе с матрицами ставить нижний индекс приходится очень часто.

Нумерация элементов массива

Нумерация элементов массива (вектора или матрицы) может начинаться с 0, 1 или с любого другого числа (положительного или отрицательного). Порядком нумерации элементов массива управляет встроенная переменная ORIGIN. По умолчанию ORIGIN=0. Это означает, что первый член массива имеет номер 0.

Чтобы нумерация членов векторов и матриц начиналась, как обычно принимается в математике, с 1, надо перед вводом матрицы, а лучше в начале документа, напечатать ORIGIN:=1 (все буквы прописные).

На рисунке 2.13 (вверху) показано создание элементов матрицы D по формуле с использованием нижних индексов. По умолчанию ORIGIN=0, поэтому . После ввода ORIGIN:=1 элемент не имеет смысла, а .

Подробнее о построении матриц ..\Электронная книга1\matrix1.mcd.