Метод перемещений

Рассмотрим альтернативный по отношению к методу сил метод раскрытия статической неопределимости стержневых систем, названный методом перемещений. В методе сил за неизвестные принимают реакции и (или) внутренние усилия в лишних связях, которые находят из равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей. В методе перемещений за неизвестные принимают перемещения подвижных узлов конструкции, которые находят из равенства нулю реакций в воображаемых опорных связях, препятствующих перемещениям узлов: в методе сил часть связей отбрасывается, а в методе перемещений, наоборот, вводится некоторое число новых связей. На первый взгляд, кажется, что мы усложняем задачу, вводя дополнительные связи, но благодаря оригинальному подходу это не так. Дело в том, что вводя в реальную конструкцию ряд виртуальных связей, мы получаем набор базовых случаев нагружения балок, используемых при расчете большого многообразия стержневых систем. Такой подход легко поддается программированию на ЭМВ.

Рассмотрим простую П-образную раму и представим возможную схему ее деформации при воздействии внешних нагрузок с учетом следующих упрощающих предпосылок:

1. Стержни при изгибе искривляются, но своей длины не изменяют;

2. Жесткие узлы поворачиваются так, что углы между примыкающими стержнями не изменяются.

Жесткие узлы D, E, F, G повернутся на некоторые углы θ₁-θ₄ и переместятся по горизонтали на величину ∆₁ и ∆₂. Т.к. стержни не растяжимы, то DD₁=EE₁=∆₁ и FF₁=GG₁=∆_2. Таким образом общее число неизвестных равно степени кинематической неопределимости n_k=n_y+n_л=4+2=6.

Число угловых неизвестных n_y равно числу жестких узлов рамы. Число линейных неизвестных n_л равно числу степеней свободы шарнирной модели. n_л=W_ш.м.=3D-2U_ш-С=3*6-2*8-0=2.

Выбираем основную систему метода перемещений, вводя в жестких узлах виртуальные (воображаемые) заделки, препятствующие повороту, и линейные связи в узлах E, G, препятствующие горизонтальному перемещению.

Если теперь повернуть виртуальные заделки на углы θ₁-θ₄ и сместить линейные связи на величину ∆₁ и ∆₂, и кроме того приложить внешние нагрузки , то мы получим эквивалентную систему, полностью адекватную заданной системе как в кинематическом смысле (равны соответствующие перемещения), так и в статическом (равны соответствующие реакции в реальных и виртуальных связях). Обозначим неизвестные буквами Z _i.

Z₃ Z₄

F F₁ G

Эквивалентная система

P2

P2

G₁ 2 Z₆

Заданная система

D D₁ P₁ E E₁ Z₁ P₁ Z₅ Z₂

A B 1

D=6; Uш=8

3 4 6 1 1

Шарнирная модель

2 2

1 2

Основная система

5

1 1

Вычислим реакции в виртуальных связях, вызванные угловыми и линейными перемещениями Z _i, а также внешними заданными нагрузками , используя принцип суперпозиции. Для связи i получаем в эквивалентной системе:

где – реакция в связи i, вызванная действием единичного перемещения j связи , - реакция всвязи i от действия внешней нагрузки .

Так как в заданной системе виртуальные связи отсутствуют, то для нее .

На основе адекватности эквивалентной и заданной систем получаем , т.е. .

Раскрывая по всем i, получаем систему канонических уравнений метода перемещений:

Реакции в основной системе от различных воздействий могут быть найдены методом сил. Встречаются два основных случая опирания балок:

1. Глухие заделки с двух сторон;

2. Одна глухая заделка и одно шарнирное опирание.

А В

А В

В качестве примера рассмотрим определенные реакций, возникающих при повороте заделки А на угол .

Балка 2 раза статически неопределима n=R-U=4-2=2.

M_A M_B

з.с.

R_A R_B

о.с.

х₁

э.с. х₂

1 _Е.С., 1 _{Е. Эп.}

2 _Е.С., 2 _{Е. Эп}

1

1 l*1

1 г.с.

Выбираем основную систему метода сил, отбрасываем связи в опоре В, и показываем эквивалентную систему. Записываем систему канонических уравнений:

Рассматриваем 1 и 2 единичные и грузовое состояние основной системы. В роли внешней нашрузки выступает угол поворота левой опоры . Вычислим податливости и перемещения ∆_iF.

s w:val="24"/><w:vertAlign w:val="subscript"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>2F</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:vertAlign w:val="subscript"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>=-l</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Подставляем в систему:

или

Из уравнений равновесия находим:

По полученным данным строится эпюра изгибающий моментов в заданной балке от единичного угла поворота.

1 Эп.

Эпюра построена на растянутых волокнах.

Рассмотрим действие на балку силы Р.

Р

Заданная система

Основная система

P/2 P/2

x₁ x₁

Эквивалентная система

1

Pl/4

P/2

Pl/8

Мы получили два элемента библиотеки базовых случаев нагружения. Аналогично найдены решения для других случаев, которые как «кирпичики» используются при расчете рам.

Рассмотрим I единичное и грузовое состояния основной системы.

P₂

MF

P₁

r₁₁

D

Для показанной выше рамы, например, можно записать:

где h и l – длины стоек и ригелей, сходящихся в узле D; Y_c и Y_p – моменты инерции стоек и ригелей. Аналогично находим:

После нахождения «единичных» r_ij и грузовых R_iF реакций решается система уравнений относительно перемещений узлов Z_i. Затем строится окончательная эпюра изгибающих моментов.

где – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от единичного перемещения - то же от внешней нагрузки .

Аналогично методу сил, в методе перемещений имеется целый ряд промежуточных и окончательных проверок правильности решения задачи.