Формулы трапеций и Симпсона

Воспользуемся правилом Верещагина для перемножения двух прямолинейных эпюр, имеющих вид трапеций. Разобьем обе трапеции на треугольники, у которых площади и положения центров тяжести легко определяются.

Эпюра M_F

ω₁

C₁ C₂

Эпюра

ω₂

Мы получили формулу трапеций, согласно которой произведения соответствующих левых и правых ординат эпюр необходимо удвоить, а произведения перекрестных ординат взять одинарными, и полученную сумму умножить на одну шестую длины эпюр.

Рассмотрим случай, когда грузовая эпюра представлена квадратной параболой, а единичная эпюра – трапецией.

ω_П.С.

Наряду с крайними ординатами укажем и средние.   Разобьем криволинейную эпюру на трапецию и параболический сегмент.   Произведем перемножение соответствующих фигур.

ω_T

Выражение I_Т у нас имеется. Найдем .

Площадь параболического сегмента:

Ордината единичной эпюры под центром тяжести параболического сегмента:

После подстановки получаем формулу Симпсона:

Произведение двух эпюр равно сумме произведений крайних ординат и учетверенному произведению средних ординат, умноженной на одну шестую длины эпюр.