Глава 16. Двойной интеграл

16.1. Понятие двойного интеграла.

Рассмотрим в плоскости замкнутую область , ограниченную линией . Пусть в области задана непрерывная функция . Разобьем область на частей: называемых площадками. Через обозначим и площади площадок. В каждой из площадок возьмем точку : . Обозначим через значения функции в выбранных точках и составим сумму произведении вида (1). Эта сумма называется интегральной суммой для функции в области . Если , то – объем цилиндра, построенного на как на основании с высотой .

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью для данной области : (2) при различных способах разбиения области на части . Считаем, что при . При этом справедлива теорема 1:

Теорема 1. Если непрерывна в замкнутой области , то существует предел последовательности (2) интегральных сумм (1), если диаметр площадок , (), который не зависит ни от способов разбиения области , ни от выбора точек .

Этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается так: или , т.е. , – область интегрирования.

Если , то – объему тела, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны , а направляющей служит граница области .

Теорема 2. Двойной интеграл от суммы двух функций по области равен сумме двойных интегралов по области от каждой из функций в отдельности.

Теорема 3. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла: ().

Доказательство, аналогично доказательству для определения интеграла.

Теорема 4. Если область разбита на две области и без общих внутренних точек и функция непрерывна во всех точках области , то .

Доказательство. Интегральную сумму по области можно представить в виде: , где первая сумма содержит слагаемые, соответствующие площадкам области , вторая – соответствующие площадкам области . Это возможно, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения и общая граница и является границей площадок .

Теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема 5. (теорема о среднем). , Точка , - площадь области .

Теорема 6. Если во всех точках области удовлетворяет неравенствам , то * , где – площадь области .

16.2. Вычисление двойного интеграла.

Пусть область такова, что всякая прямая, параллельна, одной из координатных осей, например, оси , и проходящая через внутреннюю точку области , пересекает границу области в двух точках. Предположим, что область ограничена линиями: , , , , причем и функции и непрерывны на отрезке , . Такая область называется правильной в направлении оси . Аналогично, определяется область, правильная в направлении оси . Область, правильную как в направлении оси , так и оси , называют правильной.

Пусть непрерывна в области . Рассмотрим , который будем называть двукратным интегралом от по области . В этом выражении сначала вычисляется определенный интеграл, стоящий в скобках, при этом считаем, что , получаем функцию : , далее вычисляем определенный интеграл , который равен постоянному числу.

Пусть область такова, что одна из функций не может быть задана одним аналитическим выражением на всем участке , т.е. если , то на отрезке и на отрезке , тогда .

Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции по правильной области равен двукратному интегралу от этой функции по области : . (1)

Замечание 1.

Пусть правильная в направлении оси область ограниченная линиями , , , , , . Очевидно, (2). Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного. В каждом конкретном случаи надо выбрать формулу (1) или (2) в зависимости от вида области и подынтегральной функции .

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в интеграле: . Очевидно, что , , .

.

Пример 2. Вычислить , где - треугольник, ограниченный прямыми .

.

Замечание 2. Если область не является правильной ни в направлении оси , ни в направлении , то необходимо разбить область на конечное число правильных областей и затем найти интегралы по каждой области и сложить результаты.

16.3. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.

Объем. Как отмечалось выше, объем цилиндроида, т.е. тела, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области , а образующие параллельные оси , равен .

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Очевидно, что .

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на плоскость является область , то объем этого тела равен разности объемов двух цилиндроидов: . Формула верна для любых непрерывных функций и , для которых .

Площадь плоской фигуры.

Если составить интегральную сумму для функции по области , то эта сумма равна площади . Переходя к пределу, получим: . Если область – правильная, то имеем - формула, рассмотренная ранее.

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями . Координаты точек пересечения: , .

16.4. Двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть в полярной системе координат задана такая область , что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу области не более чем в двух точках. ограничена кривыми , и лучами и , , . Такую область называют правильной.

Пусть в области задана непрерывная функция . Разобьем на площадки и составим интегральную сумму , точка .

Из теоремы существования двойных интегралов следует, что при существует предел интегральной суммы: . Т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения , то разобьем с помощью лучей и концентрических окружностей: функции , – наибольшее значение .

Обозначим через площадку, ограниченную линиями .

Если площадка пересекается границей или не лежит в , то их не учитываем и . Интегральная сумма , где – произвольная точка площадки . Найдем площадь . Она равна разности площадей двух секторов: ощадь или , где . Тогда интегральная сумма: , – точка площадки .

Предположим, что , тогда . Теперь пусть – формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

Если область является правильной в полярных координатах, то ().

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного сферой и цилиндром .

Область интегрирования – основание цилиндра - круг с центром в точке и радиусом . Вычислим - ту его часть, которая расположена в 1 октанте: .

В полярных координатах: , , то уравнение окружности: или . Тогда:

.

Глава 17. Тройной интеграл

17.1. Понятие тройного интеграла

Пусть в пространстве задана область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена непрерывная функция (если 0 – то можно рассматривать плотность распределения вещества в области V).

Разобьем область V на n областей произвольным образом, причем – это и объем этой области. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку Р_i и составим интегральную сумму . Перейдем к пределу, т.е. , чтобы и , тогда для непрерывной функции существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения области, ни от выбора точек Р_i. Это предел обозначается символом и называется тройным интегралом, т.е. . Если считать – объемной плотностью распределения вещества в области V, то тройной интеграл даст массу вещества в области V.

17.2. Вычисление тройного интеграла

Предположим, что пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, обладает следующими свойствами:

1. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность S в двух точках.

2. Вся область V проектируется на плоскость ХОУ в правильную область D.

3. Всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной и любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1, 2.

Область V, обладающую указанными свойствами, будем называть правильной трехмерной областью. Пример – эллипсоид, тетраэдр.

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение: , а сверху – . Пусть область D – проекция области V на плоскость ХОУ – ограниченна линиями: , , , .

Введем понятие трехкратного интеграла от функции по области V: . В результате интегрирования по z в квадратных скобках, получится функция от х и у. Далее вычисляем двойной интеграл по области D.

Теорема. Тройной интеграл от по правильной области равен трехкратному интегралу по этой же области, т.е. .

Свойства тройного интеграла:

1. Если область V разбита на области и плоскостью, параллельной какой – либо из плоскостей координат, то тройной интеграл по области равен сумме тройных интегралов по областям и .

2. Если m и М – наименьшее и наибольшее значение функции в области V, то , где V – объем данной области.

3. , где – объем области.

4. Если в тройном интеграле положить , то .

17.3. Замена переменных в тройном интеграле

а) В цилиндрических координатах.

В цилиндрической системе координат положение точки М определяется тремя числами: , , , где и – полярные координаты проекции точки М на плоскость , – аппликата точки М. Переход от цилиндрической системы координат к декартовой осуществляется по формулам: , , .

Разобьем область V поверхностями: криволинейные «призмы» с объемами , где – площадь основания, а – высота. Тогда:

, где .

Пример. Определить массу полушара радиуса R с центром в начале координат, если плотность вещества пропорциональна расстоянию этой точки от основания, т. е. .

Уравнение верхней полусферы: . Имеем:

= .

б) В сферических координатах.

Положение точки определяется тремя числами: , где r – радиус-вектор, – угол между проекцией точки и ОХ, – угол между радиусом-вектором и плоскостью . Имеем: , , .

Пределы изменения сферических координат: ; ; .

.

Пример. Вычислить , где V – шар радиуса R.

Перейдем к сферическим координатам: =

В общем виде: если надо перейти от переменных x, y, z к переменным u, v, w, и , , где

– якобиан. Для цилиндрических координат: , , .

.

Для сферических координат: , ,

.

Для случая двух переменных ; имеем:

, где

- якобиан преобразования координат.

Для полярных координат: , , .