Глава 14. Степенные ряды

14.1 Функциональные ряды.

Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от : .(1). Давая определенные числовые значения, получим различные числовые ряды, которые могут сходится и расходится.

Совокупность тех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

В области сходимости ряда его сумма является функцией х: .

Пример. . Этот ряд сходится при (убывающая геометрическая прогрессия). Очевидно, = при .

Пусть – сумма первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и его сумма равна , то = + , где = – остаток ряда.

Для всех х в области сходимости ряда , поэтому .

14.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида (1), где – числа – коэффициенты ряда.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении , для которого .

2. Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого .

Доказательство.

1. Т.к. числовой ряд сходится, то его общий член при . Это значит, что существует такое число , что все члены ряда по модулю . Перепишем ряд (1) в виде: и запишем ряд из модулей: . Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда: . При последний ряд – геометрическая прогрессия со знаменателем , который сходится, поэтому сходится и ряд из модулей.

2. Пусть в точке ряд расходится. Тогда он будет расходится в любой точке х удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке удовлетворяющей этому условию, ряд сходится, то в силу 1 он должен был бы сходится и в точке , т.к. , что противоречит условию, что в точке ряд расходится.

Из теоремы Абеля следует, что если – точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости, т.е. существует число , такое что при всех х таких, что - степенной ряд сходится, а при – расходится.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от до , что для всякой точки , лежащей внутри интервала, ряд сходится абсолютно, для точек , лежащих вне него – расходится. Число – радиус сходимости степенного ряда.

На концах интервала (при и ) вопрос о сходимости решается индивидуально для каждого ряда.

Для определения радиуса сходимости применяют признаки Даламбера и Коши для модулей членов ряда.

Для определения

используем признак Даламбера для модулей: . Если , то ряд сходится, если - расходится. Поэтому .

Аналогично, – по признаку Коши.

Пользоваться этими формулами следует осторожно, т.к. пределы часто не существуют. Например, если бесконечное множество коэффициентов обращается в нуль (т.е. ряд содержит члены только с четными или нечетными степенями х), то пользоваться этими формулами нельзя.

Пример. . По Даламберу: . , . Тогда при - ряд сходится, при – расходится. Радиус сходимости . При – ряд расходится.

Пример. . . При ряд сходится, т.е. при , при – расходится, , при сходится, при – расходится.

14.3. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

1. Если степенной ряд (1) имеет интервал сходимости , то ряд (2), полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости и при , т.е. внутри интервала сходимости производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.

Замечание. Полученный ряд снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколько угодно раз.

2. Пусть дан ряд (1). Тогда , если и х принадлежат интервалу сходимости . Т.е. если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда

Пример 1. Рассмотрим ряд ( – это геометрическая прогрессия с ). Почленно интегрируя, получим: . Поскольку ряд в правой части сходится при х = 1, то .

Пример 2. Найти сумму ряда . Умножим обе части на х и проинтегрируем от 0 до х: . Дифференцируя, находим , или .

Пример 3. Найти сумму ряда . Продифференцируем: (разложение в ряд Маклорена). Тогда . Чтобы найти С, положим в исходном ряде и в последнем равенстве х =0: , т.е. , т.е. .

Пример 4. Найти сумму ряда (1). Трижды продифференцируем (1): , (2); , (3); . Получим исходный ряд, т.е. .

, , , тогда .

Для вычисления , , подставим в формулы (1), (2), (3): ; , тогда и . Тогда ; или ; ; .

14.4. Ряды Тейлора и Маклорена.

Имеется формула Тейлора для функции , имеющий производные до включительно, в окрестности точки : , где остаточный член , .

Если имеет производные всех порядков в окрестности точки , то в формуле Тейлора число можно брать сколь угодно большим. Допустим, что , тогда, переходя в формуле Тейлора к пределу при , получим справа бесконечный ряд, Тейлора: . Если в формуле ряда Тейлора положить , то получим ряд Маклорена: .

Для каждой элементарной функции существуют и , такие, что в интервале она разлагается в ряд Тейлора (или Маклорена).

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

, . , .

, .

.

Тогда:

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена .

, , поэтому

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена .

, , ,

, , , и т.д., поэтому:

.

Приведем еще несколько основных разложений

,

,

, (найдено в пример 1 из 14.3)

(из разложения при , получаем, что .. Подставляя вместо х (), получим , тогда .