Глава 13. Числовые ряды

Раздел VI. Числовые ряды

13.1. Понятие числового ряда. Сумма ряда.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел .Выражение (1) называется числовым рядом. Числа называются членами ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда: .

Рассмотрим частичные суммы: , , , . Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

Рассмотрим геометрическую прогрессию: . Первый член , знаменатель . Сумма n первых членов .

1) Если , то при и - ряд сходится.

2)Если , то при и не существует – ряд расходится.

3) , рад и ряд расходится.

4) , рад = 0 при четном, = при нечетном, поэтому предела не имеет, ряд расходится.

Геометрическая прогрессия с и сходится, если .

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием нескольких членов.

Пусть - сумма первых членов ряда (1), - сумма отброшенных членов, - сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в . Тогда , где - постоянное число, не зависящее от . Если существует , то существует и ; если существует , то существует и , что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд тоже сходится и его сумма равна .

Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряды и тоже сходятся и их суммы равны и соответственно.

13.2. Необходимый признак сходимости рада.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о сходимости ряда.

Теорема. Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .

Пусть ряд u₁+u₂+u₃+u₄+…+u_n+… сходится, т.е. – сумма ряда. Тогда . Вычтем из одного другое: , , но ,

Следствие. Если , то ряд расходится

Пример. Ряд расходится, т.к. . Это признак необходимый, но не достаточный.

Рассмотрим гармонический ряд: . Хотя , но ряд расходится. Докажем это. . Напишем вспомогательный ряд: . Обозначим сумму первых членов гармонического ряда и - вспомогательного ряда. Т.к. каждый член первого ряда больше соответствующего члена второго ряда (или равен ему), то для : . Подсчитаем частичные суммы второго ряда для ; ; ; и т.д. Очевидно, что . Тогда , тогда , т.е. гармонический ряд расходится.

13.3. Признаки сравнения рядов

Пусть имеем два ряда с положительными членами: (2) и (3).

Теорема 1. Если члены ряда (2) не больше соответствующих членов ряда (3), т.е. и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2).

Пусть и - сумма рядов. Из следует, что . Т.к. ряд (3) сходится, то . Т.к. члены рядов положительны, то , тогда . Доказали, что частичные суммы возрастают и ограничены, значит, они имеют предел: и .

Пример. Ряд сходится, т.к. его члены меньше соответствующих членов ряда . Последний ряд сходится, т.к. начиная со второго члена - это геометрическая прогрессия с .

Теорема 2. Если члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ряда (3), т.е. , и ряд (3) расходится, то и ряд (2) расходится.

Из условия следует, что (положительный ряд). Т.к. ряд (3) расходится, то , тогда из следует, что , т.е. ряд (2) расходится.

Пример. Ряд расходится, т.к его члены начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда , который расходится.

Теорема 3. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

13.4. Признак Даламбера.

Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение при имеет конечный придел , т.е. , то ряд сходится в случаи , ряд расходится при . При теорема не дает ответа о сходимости ряда.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим число : . По определению предела начиная с номера , отсюда . Запишем последнее неравенство для : ; ; ….

Рассмотрим два ряда: (1) и . Ряд – геометрическая прогрессия с - сходится. Члены ряда (1), начиная с , меньше членов ряда , поэтому ряд (1) сходится на основании признака сравнения.

Пусть . Тогда из следует, что для . Но это означает, что члены ряда возрастают и не стремится к 0, поэтому ряд расходится.

Замечание 1.

1. Если , то ряд расходится.

2. Если , но , начиная с , то ряд расходится.

Пример. , : , - сходится.

Пример. , ( - расходится).

Пример, , , то расходится, т.к. .

Пример. , . Заметим, что , тогда данный ряд запишется: . Частичная сумма первых членов , тогда - ряд сходится и .

13.5. Признак Коши.

Если для ряда с положительными членами (1) величина имеет конечный предел при , т.е. , то при ряд сходится, а при – расходится.

1. Пусть . Рассмотрим . Начиная с : , или , или , для всех . Рассмотрим два ряда: (1) и . Ряд сходится – геометрическая прогрессия с . Члены ряда (1), начиная с , меньше членов ряда ряд (1) сходится.

2. Пусть , тогда начиная с , или – ряд расходится, т.к. не стремится к нулю.

Пример. , – сходится.

Замечание: Если , то требуется дальнейшие исследования.

Пример. Для гармонического ряда () , однако ряд расходится.

Пример, , , но ряд сходится, т.к. члены ряда, начиная со второго, меньше членов сходящего ряда .

13.6. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т.е. , и пусть - такая непрерывная невозрастающая функция, что ; , …, . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Построим графики членов ряда:

1 2 3 n n+1

у

Из графика (а) следует, что площади прямоугольников равны ; ; ; и т.д. и . С другой стороны, площадь области, ограниченной кривой и прямыми , , , равна , поэтому (1).

Из рисунка (б) следует, что сумма площадей всех прямоугольников равна , или (2).

Предположим, что сходится, тогда , т.е. остается ограниченной, т.е. .

Пусть расходится, тогда неограниченно возрастает при увеличении . Тогда (из неравенства (1)) тоже неограниченно возрастает, т.е. ряд расходится.

Пример. Ряд Дирихле: , - сходится, – расходится.

13.7. Знакочередующиеся ряды.

Члены знакочередующегося ряда имеют чередующиеся знаки: , где - положительны.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1): члены таковы, что (2) и (3), то ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит .

Рассмотрим сумму первых членов ряда (1): . Из (2) следует, что и возрастает с увеличением . Запишем . В силу (2) каждая скобка положительна. В результате вычитаний получим число, меньше , т.е. . возрастает и ограниченна сверху , поэтому имеет предел S: , . Рассмотрим нечетные суммы: : , , то - (1) сходится.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если (2) выполняется, начиная с некоторого N.

Пример. Ряд сходится: .

13.8 Знакопеременные ряды

Знакопеременные ряды – если среди членов есть положительные и отрицательные.

Числа - положительные и отрицательные.

Теорема. Если знакопеременный ряд (1) таков, что ряд из модулей (2) сходится, то и данный ряд сходится.

Доказательство. Пусть и - суммы первых n членов рядов (1) и (2).

Пусть - сумма положительных членов, сумма модулей отрицательных членов, тогда и . По условию имеет предел – положительные возрастающие величины, меньшие , поэтому они имеют пределы и , тогда и имеет предел , т.е. (1) – сходится.

Пример. . Рассмотрим ряд и ряд (который сходится). Члены ряда не больше соответствующих членов ряда , он также сходится, тогда, в силу доказанной теоремы, ряд сходится.

Пример. . Рассмотрим ряд . – геометрическая прогрессия – сходится. Сходится и заданный ряд.

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2). Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то знакопеременный ряд сходится условно.

Пример. Ряд сходится условно, т.к. ряд расходится.

Пример. есть абсолютно сходящийся ряд, т.к. ряд, состоящий из модулей, сходится.

Отметим следующие свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

2. Если ряд сходится условно, то, какое бы ни выбрали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки окажется расходящимся.

Пример. Знакопеременный ряд (1) сходится условно. Обозначим его сумму , . Сделаем перестановку членов этого ряда так, чтобы за одним положительным членом следовали два отрицательных: (2). Обозначим и как частичные суммы рядов (1) и (2). Рассмотрим сумму членов ряда (2): = . Поэтому ; ; т.е. .

Итак, сумма ряда после перестановки уменьшилась вдвое. Это говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых.