б) Воспользуемся свойством корня n – ой степени: . Тогда получаем: . Для нахождения производной воспользуемся формулой

Значит .

в) Воспользуемся формулой для нахождения производной представленной в пункте а), учитывая, что: .

Тогда получаем:

г) . Обратим внимание, что это сложная функция.

.

д) Здесь нам понадобиться формула нахождения производной тригонометрической функции и степенной функции (см. пример №15а).

.

е) Здесь нам понадобиться формула нахождения производной тригонометрической функции и степенной функции (см. пример №15а).

16. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

а)

б)

в)

РЕШЕНИЕ

Согласно правилу Лопиталя:

Для неопределенностей вида .

Тогда в нашем случае:

а)

б)

в)

17. Найти интервалы возрастания и убывания следующих функций:

а)

б)

РЕШЕНИЕ

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции используется следующий алгоритм:

1. Находим область определения функции ;

2. Находим производную заданной функции;

3. Приравниваем производную к нулю и находим корни получившегося уравнения;

4. При помощи найденных корней разбиваем нашу область определения на интервалы и находим знак производной на каждом из них;

5. Если производная на интервале знакопостоянства меньше ноля то функция на этом интервале убывает, и наоборот – если производная больше 0, то функция на этом интервале возрастает.

Для наших примеров:

а)

Следуя алгоритму получаем:

1.

2.

3.

+ 1,5 --

4. Таким образом, получаем, что наша функция возрастает на интервале , а убывает на интервале .

б)

Следуя алгоритму получаем:

1.

2.

3.

4. 2 +

Таким образом, получаем, что наша функция возрастает на итервале

, а убывает на интервале .

18. Исследовать на экстремум следующие функции:

а)

б)

РЕШЕНИЕ

Схема исследования на экстремум функции одной переменной:

1. Найти область определения;

2. Найти

3. Найти критические точки, т.е. значения аргумента, при которых производная или не существует;

4. Критическими точками разбить область определения на интервалы знакопостоянства и установить знак производной в каждом интервале;

5. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то в этой критической точке максимум, если меняет знак с (-) на (+), то в этой критической точке минимум. Если не изменяет знак, то данная критическая точка не является экстремальной.

Для наших примеров:

а)

Следуя алгоритму получаем:

1.

2. при любом . Дальнейшее исследование нецелесообразно, т.к. функция является монотонно возрастающей на всей области определения R.

б)

Следуя алгоритму получаем:

1.

2.

3.

;

4. + 1 5 +

5. В критической точке находится максимум функции, а в критической точке – минимум функции.

19. Вычислить неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

РЕШЕНИЕ

а) Это табличный интеграл и находится он по следующей формуле:

Тогда для нашего случая имеем:

б)

в)

г)

д)

20. Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить определенные интегралы:

а)

б)

в)

РЕШЕНИЕ

Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:

где

В нашем случае получаем:

21. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

а)

б)

в)

РЕШЕНИЕ

Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находятся по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом другая переменная, соответственно или считается постоянной величиной).

В нашем случае имеем:

а)

б)

в) ;

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Гурский, Е. Н. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. 2-е изд. доп. – Минск: Выш. шк., 1982. – 272 с.

2. Жевняк, Р. М. Высшая математика. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш.шк., 1984 – 1988. – Ч.1 – 384 с.

3. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985 – Т. 1 – 456 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.

4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / под ред. А. П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1990 – 1991. – Ч.1 – 270 с.