Неопределенный и определенный интегралы

33. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x),то = …

34. Производная от интеграла равна …

35. Дифференциал от интеграла равен …

36. Интеграл равен …

37. Если , то …

38. Если функция первообразная функции , то функция f(x) равна

39. Если , то ее первообразная равна …

40. Чему равен интеграл …

41. Чему равен интеграл …

42. . Тогда k = …

43. . Тогда k = …

44. Найдите интегралы: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

45. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

46. Какое из выражений целесообразно принять за U при интегрировании по частям интеграла: а) ; б) ; в) ; г) .

47. Какое из выражений целесообразно принять за dV при интегрировании по частям интеграла: а) ; б) ; в) ; г) .

48. Если F(x) является первообразной функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница …

49. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ;

в) ; г) .

50. Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:

а) ; б) ; в)

51. Вычислить определенные интегралы интегрированием по частям:

а) ; б) ; в) .

52. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х³, у = 0, х = 1;

б) у = х², у = 1, х = 0.

Образцы решения задач:

1. Вычислить определитель 2-го порядка

.

РЕШЕНИЕ:

Вычисление определителя 2-го порядка проводится по формуле:

, поэтому для нашей задачи имеем:

2. Вычислить определитель 3-го порядка, пользуясь правилом треугольника

.

РЕШЕНИЕ

Вычисление определителя 3-го порядка по правилу треугольника проводится по схеме

3. Вычислить определитель 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки

.

РЕШЕНИЕ

Вычисление определителя 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки проводится по следующей формуле:

где — алгебраические дополнения элементов в данном определителе:

, а — миноры, соответствующие элементам определителя, которые являются определителями второго порядка, получаемые из данного определителя путем вычеркивания строки i и столбца j.

Следовательно, мы имеем:

4. Найти произведение двух матриц A и B, если

.

РЕШЕНИЕ

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Рассмотрим на примере:

В нашем случае имеем:

5. Найти матрицу , обратную для матрицы A, где

.

РЕШЕНИЕ

Обратная матрица находится по следующей формуле:

, где союзная матрица к матрице , а определитель, составленный из элементов данной матрицы. Подставляя, получаем: . В нашем случае:

1. Находим определитель данной матрицы:

, следовательно обратная матрица существует.

2. Находим союзную матрицу к матрице , т.е. . Для этого найдем алгебраические дополнения элементов в данной матрице (см. пример № 3):

; ;

; .

Получаем:

3. Подставляем полученные результаты в формулу и находим обратную матрицу : .

6. Найти длину вектора , если А (1;2;3), В (4;6;3).

РЕШЕНИЕ

Для нахождения длины заданного вектора вначале найдем его координаты по формуле , где . Затем по формуле , где координаты вектора , найдем его длину. В нашем случае получаем:

, тогда, подставляя координаты в формулу нахождения длины вектора, получаем:

7. Вычислить скалярное произведение векторов

.

РЕШЕНИЕ

Для вычисления скалярного произведения векторов пользуются следующей формулой:

, где координаты вектора , а координаты вектора . В нашем случае получаем:

8. Найти между векторами .

РЕШЕНИЕ

Для того, чтобы найти косинус угла между векторами воспользуемся следующей формулой:

где в числителе стоит скалярное произведение данных векторов (см. пример №7), а в знаменателе произведение их длин (см. пример №6). Найдем вначале скалярное произведение данных векторов:

Теперь найдем их длины:

.

Подставляем найденные значения в формулу:

9. Написать общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки А (2;-1) и В (-3;2).

РЕШЕНИЕ

Общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки, имеет вид:

, где координаты одной из точек, а другой.

В нашем случае это уравнение примет вид:

отсюда, воспользовавшись свойством пропорции, получим: , выразим из этого равенства :

уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки.

10. Найти точку пересечения двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:

.

РЕШЕНИЕ

Для нахождения точки пересечения двух прямых, нужно составить систему из их общих уравнений и решить ее относительно .

Полученные значения и будут координатами точки пересечения данных прямых. В нашем случае получается:

Для решения данной системы умножим первое уравнение на , а второе на :

Теперь сложим почленно первое и второе уравнения:

Получили линейное уравнение, найдем из него :

.

Чтобы найти подставим в любое из исходных уравнений, ну, например, во второе:

Приведем подобные члены и выразим :

Тогда точка пересечения данных прямых имеет следующие координаты: .

11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) параллельно вектору .

РЕШЕНИЕ

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , параллельно заданному вектору записывается в виде:

В нашем случае, получаем:

Отсюда получаем:

;

искомое уравнение

12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) перпендикулярно вектору .

РЕШЕНИЕ

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , перпендикулярно заданному вектору , записывается в виде:

В нашем случае получаем следующее уравнение:

, раскроем скобки и приведем подобные члены

искомое уравнение.

13. Вычислить пределы:

РЕШЕНИЕ

a) . При решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на :

б) При решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на :

в) при решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности, разделим числитель и знаменатель дроби на :

Так как предел числителя равен 1, а в знаменателе стоит бесконечно малая при

14. Вычислить пределы:

РЕШЕНИЕ

a) при решении данного предела возникает неопределенность вида .

Чтобы избавиться от неопределенности, можно поступить следующим образом:

1 способ. Обозначим тогда при . Подставляя, получаем:

2 способ. Заметим, что при функция является бесконечно малой (б.м.), следовательно, ее можно заменить эквивалентной, т.е. получаем, что . Подставляя в наш предел, получаем:

б)

15. Найти производные следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

РЕШЕНИЕ

а) Для нахождения данной производной воспользуемся формулой отыскания производной степенной функции и производной разности . В нашем случае имеем:

;