Домашнє завдання

1. Довести, що послідовність точок метричного простору з евклідовою метрикою збігається до точки .

2. Знайти границі послідовностей точок метричного простору з евклідовою метрикою:

а) б)

3. Знайти границі послідовностей точок метричного простору з евклідовою метрикою:

а) ; б)

4. Знайти границі послідовностей точок метричного простору з евклідовою метрикою:

.

Практичне заняття №3 (2 год.)

Топологія метричного простору

1. Центральне топологічне поняття. Класифікація точок відносно множини.

2. Класифікація множин точок метричного простору

3. Теоретико-множинні операції над відкритими і замкненими множинами

4. Замикання множини

5. Розв’язування вправ

1. Нехай множина наділена рівномірною метрикою. Чи належать точки , , відкритій кулі ?

2. Множина наділена метрикою: для довільних

а) ; б) .

Знайти переріз двох куль: а) і ; б) і .

3. Знайти для множини множини , якщо множина точок метричного простору з евклідовою метрикою означається так:

4. Знайти для множини множини , якщо – множина точок або метричного простору , або метричного простору (обидві з евклідовими метриками) означається так:

5. Дослідити на щільність і ніде нещільність множину в просторі , якщо: – множина чисел, розклад яких в правильний десятковий дріб не містить цифр 4 і 5.

6. Нехай – довільне ірраціональне число. Довести, що множина скрізь щільна у просторі .

7. Нехай на множині задано дві метрики і , причому існує таке, що для будь-яких . Довести, що:

а) будь-яка множина точок з відкрита відносно метрики є відкритою відносно метрики ;

б) будь-яка множина точок з замкнена відносно метрики є замкненою відносно метрики .

8. Множина наділена метрикою . Зобразити на координатній площині такі множини точок метричного простору

9. З’ясувати, якою буде в просторі множина всіх многочленів степеня – відкритою чи замкненою.

6. Домашнє завдання

1. Нехай множина наділена рівномірною метрикою. Чи належить точка відкритій кулі ?

2. Знайти для множини множини , якщо множина точок метричного простору з евклідовою метрикою означається так:

3. Знайти для множини множини , якщо – множина точок або метричного простору , або метричного простору (обидві з евклідовими метриками) означається так:

4. Дослідити на щільність і ніде нещільність множину в просторі , якщо: – множина чисел, розклад яких в правильний десятковий дріб не містить цифр 4 і 6.

5. З’ясувати, якою буде в просторі множина всіх многочленів – відкритою чи замкненою.

Практичне заняття №4-5 (4 год.)

Повні метричні простори

1. Фундаментальна послідовність. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

2. Розв’язування вправ

2.1. Довести, що послідовності:

а) б)

точок метричного простору з природною метрикою є фундаментальними.

2.2. Довести, що послідовності:

а) б)

точок метричного простору з природною метрикою не є фундаментальними.

2.3. Дослідити на фундаментальність такі послідовності точок простору з евклідовою метрикою:

а) б)

2.4. Довести, що послідовності:

а) б) в)

точок метричного простору з рівномірною метрикою є фундаментальними.

2.5. Довести, що послідовність точок метричного простору з рівномірною метрикою не є фундаментальною.

3. Повні метричні простори, приклади. Властивості повних метричних просторів.

4. Принцип вкладених куль. Критерій повноти метричного простору.

5. Розв’язування вправ

5.1. Визначити, які з метричних просторів є повними, якщо:

а) – довільна множина, б)

5.2. Довести, що простір буде повним відносно кожної з таких метрик:

а)

б)

5.3. Показати, що метричний простір , де

є повним і побудувати спадну послідовність замкнених куль, яка має порожній переріз.

5.4. Довести, що простір з метрикою неповний.

5.5. Довести, що простори усіх алгебраїчних поліномів з метрикою не є повними.

5.6. Довести, що множина усіх послідовностей дійсних чисел з метрикою , є повним метричним простором.

6. Домашнє завдання

1. Довести, що послідовності:

а) б)

точок метричного простору з природною метрикою є фундаментальними.

2. Довести, що послідовності:

а) б)

точок метричного простору з природною метрикою не є фундаментальними.

3. Дослідити на фундаментальність такі послідовності точок простору з евклідовою метрикою:

а) б)

4. Довести, що послідовності:

а) б)

точок метричного простору з рівномірною метрикою є фундаментальними.

5. Довести, що послідовність точок метричного простору з рівномірною метрикою не є фундаментальною.

6. Визначити, які з метричних просторів є повними, якщо:

а) б)

7. Довести, що простір буде повним відносно кожної з таких метрик:

а)

б)

8. Довести, що простори всіх алгебраїчних поліномів з метрикою не є повними.

Практичне заняття №6 (2 год.)

Модульна контрольна робота №1

Зразок

1. Задано функцію . Чи є метрикою в , якщо:

2. Задано дві функції . Знайти відстань між ними у просторі , де

,

якщо:

3. Множина наділена метрикою

Зобразити на координатній площині такі множини точок метричного простору

4. З’ясувати, чи буде фундаментальною у просторі з рівномірною метрикою послідовність .

5. Довести, що простір з евклідовою метрикою повний.