![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть на отрезке [a,b] заданы (n+1) точка x0, x1, ¼, xn и значения функции f в этих точках.
Будем строить интерполяционный многочлен вида , где
- многочлены степени n, удовлетворяющие условиям
так как требуем, чтобы значения интерполяционного многочлена и значения функции f(x) совпадали в узлах интерполяции i, т.е. .
Тогда можно искать в виде:
где - некоторая константа, которую найдем из условия
, тогда
Если обозначить и продифференцировать это выражение по х, полагая х=хj, то последнее выражение можно записать в виде:
,
где
Таким образом, получим многочлен
,
который называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Пусть узлы интерполирования являются равноотстоящими, т.е. , если ввести новую переменную
, то многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов запишется в виде
,
т.к. .
Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет существенный недостаток: если при выбранном числе узлов выяснилось, что интерполяционный многочлен недостаточно точно находит значение функций в заданной точке, то при добавлении одного или нескольких узлов все вычисления необходимо проводить заново. В том случае, когда требуется найти не аналитическое выражение, а лишь его значение в некоторой точке, от этого недостатка можно избавиться, воспользовавшись интерполяционной схемой Эйткена.
По этой схеме значение интерполяционного многочлена Лагранжа находится путем последовательного применения единообразного процесса
x0 | y0 | x0-x | ||||
x1 | y1 | x1-x | L01(x) | |||
x2 | y2 | x2-x | L12(x) | L012(x) | ||
¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ | ¼ |
xn | yn | xn-x | Ln-1n(x) | Ln-2n-1n(x) | Ln-3¼n(x)¼ | L01¼n(x) |
где ,
,
,
.
Применяя эту схему, можно постепенно подключать все новые и новые узлы до тех пор, пока желаемая точность не будет достигнута.
Если все вычисления проведены точно, то интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией в узлах интерполирования. Однако он будет отличен от нее в остальных точках. Исключением является случай, когда сама функция f(x) является многочленом степени не выше n.
Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция f(x) имеет на [a,b] непрерывные производные (n+1)-го порядка, имеет вид , где x - некоторая точка [a,b] или
.
Это выражение может служить оценкой отклонения полинома Лагранжа от f(x) в том случае, когда можно оценить .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 273 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!