Причины возникновения и классификация погрешности

Погрешность результата численного решения задачи

Причины возникновения и классификация погрешности

Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью.

Решение задач всегда имеют погрешность, связанную со следующими причинами:

1) созданием математической модели (любая модель имеет свою степень точности);

2) получением исходных данных (т.к. являются "результатом измерений", следовательно, возникают измерительные погрешности);

3)использованием вычислительной техники (ошибки округления, возникающие из-за ограниченной разрядной сетки и ошибки, связанные с самими методами. На рис. 1 и 2 показаны составляющие неустранимой и полной погрешности.

Рис. 2. составляющие полной погрешности

Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью.

Характеристиками точности результата решения задачи являются абсолютная и относительная погрешности. Для технических задач 10 % - хорошая точность.

Определение. Если х - точное значение некоторого числа, х^* - приближенное, то абсолютной погрешностью приближения х^* назовем величину: , т.е. точное значение числа х заключено в границах .

Определение. Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины есть относительная погрешность (т.е. доля истинного значения): , при условии, что .

Пример: Найти абсолютную и относительную погрешности, если х=3.141592, а х^*=3.14.

Решение: .

Определение. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример: У чисел подчеркнуты значащие цифры: 0.0 10087 и 0.0 100870000.

Любое число можно представить в виде , где b - основание системы счисления, n – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х), а_i – значащие цифры приближенного числа x.

Определение. Значащая цифра а_k считается верной, если имеет место неравенство: , где , в противном случае а_k - сомнительная цифра.

Прямая задача теории погрешностей

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции от этих параметров.

Пусть задана дифференцируемая функция у=f(х₁, х₂,¼,х_n) и пусть - абсолютные погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность функции: (формула Лагранжа).

Заметим, что при замене полного приращения полным дифференциалом получаем аналогичное соотношение.

При зависимости функции от одного параметра .

Определение. Предельной абсолютной погрешностью называют следующую оценку погрешности величины у^*, т.е. .

Пусть задана дифференцируемая функция у=f(х₁, х₂,¼,х_n) и пусть - относительные погрешности аргументов. Тогда относительная погрешность: или .

Определение. Предельной относительной погрешностью называю величину .