Несобственные интегралы первого рода. Теоремы сравнения

Необходимым условием существования интеграла является ограниченность функции f(x). Поэтому интеграл от неограниченной функции в обычном смысле не существует. Однако, можно распространить определение определенного интеграла на неограниченные функции при помощи введения некоторых понятий.

Случай неограниченной области:

Пусть функция f(x) определена для всех x >= a и интегрируема на каждом конечном отрезке от a до b. Рассмотрим ф-ю аргумента b.

Если при b→+ ф-я I(b) имеет конечный предел, то мы называем несобственный интеграл – сходящимся.

Если при b→+ ф-я I(b) не имеет конечный предел, то мы называем несобственный интеграл – несходящимся.

Теоремы сравнения:

Ø Пусть на [a,b] при сущ. b > a, ф-и f(x) и φ(x) интегрир. И f(x) <= φ(x)

Тогда:1)

2)

Ø Пусть ф-и f(x) и непрерывны и неотриц. для всех x>=a, пусть Тогда если существует конечный предел , то) сходится и расходится одновременно.

Ø Если существует такое число , что для всех достаточно больших x: , где М>0 и не зависит от х, то

Если для Больших х: , от .