Метод невизначених множників Лагранжа

Рішення задачі оптимізації прямим класичним методом, як видно з розглянутого приклада, відносно нескладне, однак має істотний недолік – метод не враховує обмеження.

Зокрема, якщо враховувати необхідність підтримки відхилень напруги на шинах споживачів V =±5%, які вимагаються, за умови, що на початку ЛЕП – 10 кВ створюється надбавка напруги E_n =2,5%, а в трансформаторах ТП відповідно E_т1 =2.5% та E_т2 =5%; втрати напруги в мережі 0,38 кВ Δ U _в=5%, то нескладні розрахунки показують, що відхилення напруги у віддалених точках мережі виходять за межі допустимих як до, так і після оптимізації без урахування обмежень. Так у віддаленій точці мережі 0,38 кВ другої ТП після оптимізації прямим класичним методом напруга знаходиться в допустимих межах, а у віддаленій точці мережі 0,38 кВ першої ТП до оптимізації V_уд1 =-8,52%, а після оптимізації V_опт.уд1 =-6,50%.

Виконати розрахунки з урахуванням обмежень у даному випадку можна застосувати метод невизначених множників Лагранжа.

Задача полягає у відшуканні вектора змінних керування x_і, який забезпечує досягнення екстремуму цільової функції F(x) та задовольняє обмеженням:

до того ж обмеження зображуються у вигляді рівності.

Для рішення задачі варто сформувати функцію Лагранжа:

де λ_і – невизначені множники Лагранжа,

Для знаходження екстремуму необхідно визначити перші похідні функції Лагранжа х і λ і порівняти їх до нуля:

Отримуємо (n+m) рівнянь з (n+m) невідомими.

Рішення системи рівнянь дозволяє знайти вектор, який нас цікавить.

Приклад №2: За умовами прикладу №1 розв’язати задачу вибору оптимальної потужності КБ з урахуванням обмежень по режиму напруги.

Обмеження у вигляді рівності запишеться наступним чином:

,

(у формулі враховано те, що потужність – Q_к [кВАр], напруга – U [кВ], відхилення напруги у відсотках, %:

Так як U=10 кВ, то отримуємо ),

тобто після компенсації відхилення напруги у віддаленій точці мережі 0,38 кВ першої ТП повинно бути рівним – 5%

Для умов, які задані, запишемо функцію Лагранжа:

У результаті диференціювання по та λ і прирівнювання похідних до нуля отримуємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими.

Розв’язання системи рівнянь (1) дає можливість отримати значення величин , які обертають в мінімум цільову функцію з урахуванням об­межень: