Метод прямокутників

Відрізок [a, b] розділяється на декілька інтервалів. Обираємо:

Можливі два варіанта:

1) – з недоліком,

2) – з надлишком.

Формули обчислення визначають інтеграл по методу прямокутника.

В обох випадках маємо похибку. Найбільш точною є формула:

Модифікований метод прямокутників. ординати зміщені на 0,5 h; 0,5.

2. 2. Метод трапеції.

Припустимо, що f (x) на відрізку [a,b] близька до лінійної. У цьому випадку інтеграл доцільно замінити трапецією, де:

h = (b-a) - висота; f(a), f(b) – основи

Якщо f(x) наближена до лінійної функції, то формула прямокутників дає непоганий результат, тому що – є площа.

Формула трапецій з висотою і середньою лінією :

2. 3. Метод парабол або метод Сімпсона.

Відрізок [a, b] розділяється на парне число однакових частин, n = 2m.

Площа криволінійної трапеції відповідає двом відрізкам [x₀, x₁], [x₁, x₂] та обмежена функцією y = f(x):

Окремі відрізки графіка y=f(x) замінюються параболами другого ступеню:

y(x) = Ax² + Bx + C – формула параболи, яка проходить через точки

Мо, М1, М2. Аналогічно і для інших відрізків.

Теорема: Якщо криволінійна трапеція обмежена параболою y=Ax²+Bx+C, оссю ОХ, та двома ординатами, відстань між якими дорівнює 2 h, то її площа

– квадратурна формула Сімпсона.

де y₀, y₂ - крайні ординати, y₁ – середня.

Доведення:

Коефіцієнти A, B, С знаходяться з рівнянь отриманих при:

(1)

Площа параболічної трапеції:

Якщо підставити вирази y₀, y₁, y₂ з (1) в формулу площі S, то отримаємо:

Через те, що (h=∆x); n=2m, то:

………………………………………….

замінимо отримуємо:

2.4. Питання для самоконтролю:

1. В чому полягає сутність методу прямокутників?

2. В чому різниця методу прямокутників з недоліком на відміну від методу прямокутників з надлишком?

3. В чому полягає сутність методу трапецій?

4. В чому полягає сутність методу парабол?

Лекція №3