Задачі до розділу 5.1

Задача 5.1.1

Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробуваннях однакова і дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менше 75 раз і не більше 90 раз.

Рішення

За умовою задачі: Оскільки п досить велике, то за інтегральною теоремою Лапласа

,

.

Враховуючи, що функція Лапласа є непарною, тобто Ф(-х)=-Ф(х), маємо

Тоді за формулою (5.2) шукана ймовірність дорівнює

Задача 5.1.2

У страховій компанії 10 тис. клієнтів, які застрахували своє майно. Страховий внесок складає 2000 грн., ймовірність нещасного випадку р= 0,005, страхова виплата клієнту у нещасному випадку складає 200 тис. грн. Визначити розмір прибутку страхової компанії з ймовірністю 0,95.

Рішення.

Нехай у – страхові виплати при нещасних випадках. Тоді прибуток компанії є різницею між сумою страхових внесків і сумою страхових виплат, тобто

.

Задача полягає у знаходженні такого числа N, для якого ймовірність нещасного випадку не перевищувала 1-р, іншими словами повинна виконуватися умова

.

Визначимо значення аргументу функції Ф(х) при

,

За таблицею функції Лапласа знаходимо, що тому що х>5. За формулою (5.2)

,

За таблицею функції Лапласа, при значенні знаходимо . Тоді

У цьому випадку можна вважати, що з ймовірністю 0,95 страховій компанії гарантується прибуток

.

Задача 5.1.3

Обчислити ймовірність появи події А від 50 до 70 раз в 95 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,7.

Задача 5.1.4

Обчислити ймовірність появи події А від 60 до 65 рази в 75 випробуваннях, якщо ймовірність появи події у кожному випробуванні однакова і дорівнює 0,8.

Задача 5.1.5

Ймовірність появи події дорівнює 0,7 у кожному з 2100 незалежних випробувань. Знайти ймовірність появи події: а) не менше 1470 раз; б) не менше 1470 і не більше 1500 раз; в) не більше 1469 раз.

Задача 5.1.6

Банк надає кредит населенню і має 1000 клієнтів. Кожному з клієнтів надається кредит 50000 грн. при умові повернення 110% від цієї суми. Ймовірність неповернення кредиту кожним з клієнтів у середньому складає 0,01. Який прибуток гарантується банку з ймовірністю 0,9?

Розділ 5.2. Формула Пуассона

Нехай виконується п незалежних випробувань в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р. Для визначення ймовірності появи події рівно k раз в цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж п велике, тоді для визначення ймовірності появи використовують локальну теорему Лапласа. Але ця формула непридатна, якщо ймовірність появи події мала (). В цих випадках використовують формулу Пуассона.

Вважаємо, що добуток зберігає постійне значення, тобто . Для доведення формули Пуассона використаємо формулу Бернуллі

Оскільки , тоді

Значить формула Пуассона має вигляд:

. (5.3)

Приклад:

Завод відправив на базу 10000 якісних виробів. Ймовірність того, що на шляху до бази вироб втратить якість дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що на базу прийде 5 неякісних виробів.

Рішення.

За умовою задачі

Тоді

Пуассон Сімеон Дені (21.06.1781 – 25.04.1840 рр.) – французький механік, фізик і математик. Пуассон написав більше 300 праць, значна кількість яких відіграла значну роль у становленні сучасної науки. Він покращив способи застосування теорії ймовірностей взагалі і до питань статистики зокрема, довів теорему, яка стосується закону великих чисел (закон Пуассона), вперше ввівши термін „закон великих чисел”.