Методические рекомендации по решению задач

Реальное овладение методами финансовой математики невозможно без решения конкретных задач, доведенных до конечного числового ответа. Поэтому при изучении курса большое внимание должно быть уделено анализу и обсуждению практических численных расчетов. Ниже приводятся примеры решения основных типов задач по всем разделам и темам курса финансовой математики, а также задачи и упражнения, которые могут быть использованы в домашних заданиях, для самостоятельной работы студентов и для проведения контрольных работ.

Сделаем замечание о представлении денежных сумм и времени. В данном курсе в рассматриваемых конкретных примерах и задачах, как правило, фигурируют условные денежные единицы (д.е.). В зависимости от содержания задачи под такой единицей можно понимать 1 млн. руб., 1000 долл., 10 тыс. евро и т.д., что избавляет от необходимости использовать в формулах числа, выражаемые миллионами и миллиардами. Как известно, результаты численных расчетов денежных сумм и процентных ставок по формулам финансовой математики в большинстве случаев являются приближенными. Величины денежных сумм приводятся с точностью до 1 д.е., а значения процентных ставок, если они не выражаются целым числом процентов, даются, как правило, с точностью до 0,1%. При этом, как это обычно принято, везде указываются знаки точного равенства. Следует отметить, что разобранные в курсе задачи являются упражнениями именно по финансовой математике, а не примерами конкретных бухгалтерских или банковских расчетов, где требования к точности вычислений денежных сумм иные.

Основным периодом времени в финансовых расчетах является, как правило, год, поэтому время во всех рассматриваемых формулах измеряется числом лет (это число, в частности, может быть дробным и меньшим единицы). Как известно, временные масштабы реальных финансовых операций могут быть различными ­­– от одного дня (и даже менее) до десятков лет. Вопросы о том, как именно исчислять срок той или иной финансовой операции (что особенно актуально для краткосрочных кредитных операций) относятся по существу не к самой финансовой математике, а к банковской практике, и в данном курсе не рассматриваются. Для расчетов по финансовым операциям, срок которых не выражается целым числом лет, применяется схема 360/360, т.е. временная база (год) считается равной 360 дням или 12 месяцам по 30 дней. Таким образом, во всех примерах рассматриваются обыкновенные проценты с приближенным числом дней, а все временные величины вычисляются с точностью до одного месяца.

Следует отметить, что решение даже самых простых задач по финансовой математике связано с вычислением степенных, показательных и логарифмических функций и поэтому требует применения той или иной вычислительной техники. Ранее для этих целей широко применялось табулирование соответствующих функциональных зависимостей. Такие таблицы и сейчас еще приводятся в некоторых руководствах по финансовой математике, однако постепенно они уже становятся анахронизмом. С методической точки зрения на этапе первоначального изучения основных формул и операций финансовой математики предпочтительным является использование обычных калькуляторов (научных или инженерных) с тем, чтобы в дальнейшем использовать стандартные компьютерные программные продукты, разработанные для финансово-экономических расчетов.

Принятые обозначения основных величин:

I – процентные деньги,

S(n) – датированные суммы (платежи),

n – дата платежа (срок финансовой операции), выраженные в годах,

A – коэффициент наращения,

v – коэффициент дисконтирования,

i – процентная ставка (ставка наращения, ставка приведения), выраженная в процентах или в виде соответствующей десятичной дроби,

d – учетная ставка (ставка дисконтирования), выраженная в процентах или в виде соответствующей десятичной дроби,

δ – сила роста (ставка наращения при непрерывном начислении сложных процентов), выраженная в процентах или в виде соответствующей десятичной дроби,

m – число начислений процентов в году,

K – курс валюты (рублей за единицу валюты),

Δ – разность между курсами продажи и покупки валюты (рублей за единицу валюты),

R – величина каждого платежа постоянной годовой ренты (в случае m -срочной ренты – сумма всех платежей за год),

s – коэффициент наращения простой постоянной годовой ренты,

a –– коэффициент дисконтирования простой постоянной годовой ренты,

N – чистая современная (текущая) стоимость инвестиционного проекта,

i₀ – внутренняя норма прибыли (доходности) инвестиционного проекта,

u – индекс доходности (рентабельности) инвестиционного проекта,

H – индекс инфляции,

h – темп инфляции (выраженный в процентах или в виде соответствующей десятичной дроби),

r – брутто-ставка с учетом инфляции.

1. ПРОстые и сложные проценты