Эквивалентность датированных сумм

Вопрос об эквивалентности датированных сумм (платежей) имеет в финансовой математике принципиально важное значение и лежит в основе большинства ее законов и формул.

Эквивалентность величин и , фигурирующих в простейших операциях наращения и дисконтирования, уже обсуждалась. Эти суммы являются эквивалентными друг другу с учетом временного фактора, если они связаны между собой соотношениями наращения и дисконтирования:

, .

В этих формулах, как и ранее, A – коэффициент наращения, v – коэффициент дисконтирования, причем , величина является итогом операции, а – его современной стоимостью.

Как известно, эквивалентность двух датированных сумм может быть установлена с использованием различных ставок (как наращения, так и дисконтирования). Могут быть использованы простая или сложная ставка наращения (с ежегодным начислением или с начислением m раз в год), непрерывная ставка наращения или дисконтирования, простая или сложная учетные ставки.

Так, в простейшем случае величины и являются эквивалентными друг другу (по простой ставке наращения i) если выполняется соотношение

.

Однако фундаментальное значение в финансовой математике имеет именно сложная процентная ставка. Причина этого заключается в том, что в общем случае для анализа потоков платежей необходимо устанавливать эквивалентность более чем двух платежей, а это возможно только в том случае, если эквивалентность обладает свойством транзитивности. Это свойство, как можно показать, имеет место только при использовании сложной процентной ставки.

Свойство транзитивности в математике носит весьма общий характер и применимо к объектам любой природы, между которыми устанавливается эквивалентность. Предположим, имеется три объекта А, В и С. Тогда, если объект А эквивалентен объекту В и объект С эквивалентен объекту В, то объект А эквивалентен объекту С. Наиболее наглядным это свойство является для вещественных чисел, для которых эквивалентность двух чисел соответствует их равенству. Тогда свойство транзитивности означает, что для любых вещественных чисел А, В и С имеет место следующее утверждение: если и , то , т.е.

.

Проиллюстрируем свойство транзитивности для совокупности нескольких платежей. Пусть имеется поток, состоящий из трех платежей (трех датированных сумм) , и , соответствующих трем произвольным моментам времени n ₁, n ₂, и n ₃ (Рис. 5.). Пусть сумма эквивалентна сумме по сложной ставке i, т.е. выполнено соотношение

и пусть сумма эквивалентна сумме по той же сложной ставке i, т.е.

.

В этих формулах и – промежутки времени между третьим и первым, третьим и вторым платежами соответственно.

Убедимся, что при этом сумма будет эквивалентна сумме по сложной ставке i. Приравнивая правые части двух последних формул, имеем

.

Разделив левую и правую части этого равенства на не равную нулю величину , получим

,

что и означает эквивалентность сумм и по той же сложной процентной ставке i.

По существу рассмотренное свойство тесно связано со свойствами показательных функций, описывающих наращение по сложной ставке. Можно убедиться, что свойство транзитивности сохраняется и при установлении эквивалентности с помощью сложной ставки с начислением m раз в год, а также ставки непрерывных процентов. Следует отметить, что при использовании простых ставок наращения и дисконта свойство транзитивности не имеет места, в связи с чем при анализе потоков платежей эти ставки не применяются (кроме случаев краткосрочных потоков платежей, когда свойство транзитивности выполняется приближенно).

Таким образом, для сравнения денежных сумм, соответствующих различным моментам времени, следует найти эквивалентные им (по сложной процентной ставке) значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, и сравнить их. Эту операцию называют приведением денежных сумм к данному моменту времени. Та сложная процентная ставка, которая при этом используется, называется в этом случае ставкой приведения. При этом, если приведение осуществляется к предшествующему моменту времени (назад, от будущего к настоящему), то это операция дисконтирования (математического), если же приведение осуществляется к последующему моменту времени (вперед, от настоящего к будущему), то это операция наращения. С этой точки зрения рассмотренные ранее операции наращения и дисконтирования можно назвать частными случаями операции приведения денежных сумм к некоторому моменту времени.