Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
СДНФ (совершенная ДНФ) – это такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные конъюнкции не повторяются.
СКНФ (совершенная КНФ) – это такая КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные дизъюнкции не повторяются.
Пример 3.3:
– СДНФ
– СКНФ
Сформулируем характерные признаки СДНФ (СКНФ).
1) Различны все члены дизъюнкции (конъюнкции);
2) Различны все члены каждой конъюнкции (дизъюнкции);
3) Ни одна конъюнкция (дизъюнкция) не содержит одновременно переменную и ее отрицание;
4) Каждая конъюнкция (дизъюнкция) содержит все переменные из числа входящих в исходную формулу.
Как мы видим, характерные признаки (но не формы!) удовлетворяют определению двойственности, поэтому достаточно разобраться с одной формой, чтобы научиться получать обе.
Из ДНФ (КНФ) с помощью равносильных преобразований легко можно получить СДНФ (СКНФ). Так как правила получения совершенных нормальных форм также являются двойственными, то подробно разберем правило получения СДНФ, а правило получения СКНФ сформулируйте самостоятельно, используя определение двойственности.
Общее правило приведения формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:
Для того чтобы привести формулу F, не являющуюся тождественно ложной к СДНФ, достаточно:
1) привести ее к какой-нибудь ДНФ;
2) удалить члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если таковые имеются);
3) из одинаковых членов дизъюнкции (если таковые имеются) удалить все, кроме одного;
4) из одинаковых членов каждой конъюнкции (если такие имеются) удалить все, кроме одного;
5) если в какой-нибудь конъюнкции не содержится переменной из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой конъюнкции член и применить соответствующий дистрибутивный закон;
6) если в полученной дизъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием 3.
Полученная формула и является СДНФ данной формулы.
Пример 3.4: Найдем СДНФ и СКНФ для формулы .
Так как ДНФ для данной формулы уже найдена, то начнем с получения СДНФ:
1) ;
2) в полученной дизъюнкции нет переменных вместе с их отрицаниями;
3) в дизъюнкции нет одинаковых членов;
4) ни в одной конъюнкции нет одинаковых переменных;
5) первая элементарная конъюнкция содержит все переменные из числа входящих в исходную формулу, а во второй элементарной конъюнкции не хватает переменной z, поэтому добавим в нее член и применим дистрибутивный закон: ;
6) легко заметить, что в дизъюнкции появились одинаковые члены, поэтому убираем один (предписание 3);
Таким образом, получаем СДНФ формулы F: .
Для получения СКНФ воспользуемся 4 вариантом ДНФ (пример 3.3), которую можно также рассматривать как КНФ формулы: .
1) ;
2) полученная конъюнкция не содержит переменных вместе с их отрицаниями;
3) в конъюнкции нет одинаковых членов;
4) так как пока нет дизъюнкций, то в них нет и одинаковых членов;
5) получим первые элементарные дизъюнкции, добавив к переменной х конъюнкцию , а к переменной – конъюнкцию : ;
6) в полученной конъюнкции имеются одинаковые члены, поэтому перейдем к предписанию 3;
3) уберем одну из одинаковых дизъюнкций: ;
4) в оставшихся дизъюнкциях нет одинаковых членов;
5) ни в одной из элементарных дизъюнкций нет всех переменных из числа входящих в исходную формулу, поэтому дополним каждую из них конъюнкцией : ;
6) в полученной конъюнкции нет одинаковых дизъюнкций, поэтому найденная конъюнктивная форма является совершенной.
Так как в совокупности СКНФ и СДНФ формулы F 8 членов, то скорее всего они найдены верно.
Каждая выполнимая (опровержимая) формула имеет одну единственную СДНФ и одну единственную СКНФ. Тавтология не имеет СКНФ, а противоречие – СДНФ.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1671 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!