Упрощение формул

Пример 1. Упростить формулу (АvВ) ^ (АvС)
Решение.а) Раскроем скобки
(A vB) ^ (A v C)   ^  v  ^ C v B ^ A v B ^ C
б) По закону идемпотентности A ^ A  , следовательно,
 ^  v  ^ C v B ^ A v B ^ C   v  ^ C v B ^ A v B ^ C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство Аv1 1, получим
АvА ^ Сv  ^  v  ^ C  ( ^   v С v  ^  v  ^ С  v  ^  v  ^ С

Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
 v ^  v  ^ С  ^   v     ^ С  v  ^ С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Пример 2. Упростить выражение v  ^ 

Решение. v  ^      v    - поглощение

Пример 3. Упростить выражение  ^  v  ^
Решение.  ^  v  ^    v    - склеивание

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.
Пример 4. Прео бразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний. Примечание!!!! знак «+» - дизъюнкция; знак «∙»-конъюнкция.

Решение.1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим:

2. Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:

Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы:
- знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

Эквиваленция выражается через конъюнкцию и импликацию:

                 
Из (3) и (1) получаем:
               Y   X         (4)
Эта равносильность выражает эквиваленцию через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.
Из равносильностей (3) и (2) получаем равносильность:
   =  (5),
выражающую эквиваленцию через конъюнкцию и отрицание.