Теоретические сведения. Определение: Две формулы от одних и тех же высказывательных переменных называются равносильными, если они принимают одинаковые значения истинности при всех

Определение: Две формулы от одних и тех же высказывательных переменных называются равносильными, если они принимают одинаковые значения истинности при всех возможных наборах значений истинности входящих в них высказывательных переменных.

Отношение равносильности обозначается знакомº. Из опре­деления следует, что равносильные формулы имеют одинаковые таблицы истинности, поэтому проверка равносильности двух формул сводится к составлению их таблиц истинности и анализа этих таблиц.

Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.

Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

XºX Закон тождества.	1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия	Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего	Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
Закон двойного отрицания	Закон двойного отрицания.Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание. “ Неверно, что 2×2¹4”
Законы идемпотентности XÙXºX XÚXºC	Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.
Законы коммутативности CÙUºUÙC CÚUºUÚC	Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел. В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Пример 1. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)·(А+С)

Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В·С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)·(А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.

Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º

А + В× Сº(А+В)· (А+С).

Задание №1. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений письменно в тетради:

а )( А → В) & (А Ú );

б) (А ↔ В) & (А & В) Ú ( & ).