Коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X;Y) распределена нормально, из той совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_в, который оказался отличным от нуля. Т.к. выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент генеральной совокупности r_в также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу: Н₀ о равенстве генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁ .

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированны, т.е. не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

Величина T при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы.

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , критическая область – двусторонняя.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через T_набл. и сформулируем правило проверки гипотезы.

Правило. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀ о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Н₁ , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n – 2 найти критическую точку t_кр. (α, k) для двусторонней критической области.

1. Если |T_набл.|<t_кр. – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

2. Если |T_набл.|>t_кр. – нулевую гипотезу отвергают.