Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность

Теорема: f(x) и g(x) непрерывны в т.х0, то:

- непрерывны в точке х0.

Доказательство:: =f(x0).

: =g(x0).

.

Следствие 1: любой многочлен является непрерывной функцией любой точки действительной оси.

Следствие 2: любая рациональная функция: такая, что (это значит, что любая рациональная функция может иметь не более чем конечное число т.р.2).

Теорема:(о существовании обратной функции):

если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c,d] оси Оу.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

Теорема (Вейерштрасса): если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке:

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева ().

Равномерная непрерывность:

Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если

.

33.Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование промежуточных, наибольшего, наименьшего значений. Теорема Больцано-Коши

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

Теорема (Вейерштрасса): если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке:

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева ().

Равномерная непрерывность:

Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если

.