Вопрос №12. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

рис.1.

Из определения следует, что угол наклона прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

Пусть (1)

– общее уравнение прямой L, где – нормальный вектор прямой L и . Тогда и (см. рис.1). Выразим у из уравнения (1)

.

, .

Уравнение прямой L принимает вид:

.

Определение. Уравнение прямой вида

(2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

. (3)

Доказательство. 1) Если прямая , то и . С другой стороны, ее нормальный вектор и .

Тогда и, следовательно, , ч.т.д.

2) Пусть , тогда , и . Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс.

Тогда

Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F, а в точке оси Ох с координатой проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.

рис.2.

Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.

Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка и , откуда и следует равенство , ч.т.д.

Теорема доказана.

– уравнение прямой с угловым коэффициентом, где – угловой коэффициент прямой, а – отрезок, отсекаемый прямой на оси