Определители. Определение.Определителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, обозначаемое символом

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

.

Определение. О пределителем второго порядка, соответствующим матрице , называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

.

Выражение получено по следующему правилу: из произведения чисел, расположенных на главной диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол, вычитаем произведение чисел, расположенных на побочной диагонали, идущей от верхнего правого угла к левому нижнему. Это правило схематично можно изобразить так:

Пример. Вычислить определитель

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице , называется число, обозначанмое символом

и определяемое равенством

.

Определитель третьего порядка вычисляется по “правилу Саррюса”: к последней строке приписываются первые две строки. Произведения чисел, расположенных на главных диагоналях и на диагоналях, параллельных главной, берутся со знаком плюс, а произведения чисел, расположенных на побочной диагонале и на диагоналях, параллельных ей, берутся со знаком минус. Схематично это правило можно изобразить следующим образом:

Пример. Вычислить

По правилу Саррюса имеем:

Свойства определителей.

Сформулируем и докажем свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

1º. .

Доказательство: единичная матрица третьего порядка имеет вид

. Тогда

2º. .

Доказательство: пусть

.

Для доказательства свойства достаточно применить к определителям, стоящим в левой и правой частях равенства , формулу для вычисления определителя и убедиться в равенстве полученных выражений. Так как

,

то, вычисляя и по “правилу Сaррюса”, получаем:

, . Таким образом, .

Все дальнейшие свойства определителей доказываются аналогично.

3º. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю, т.е.

.

4º. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю, т.е.

.

5º. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя, т.е.

.

6º. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.

.

7º. Если все элементы - ой строки (столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме -ой, такие же, как и в данном определителе, а - ая строка (столбец) в первом определителе состоит из первых слагаемых, во втором – из вторых, т.е.

.

8º. Если к строке (столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. То же самое будет справедливо, если к элементам строки прибавить линейную комбинацию нескольких других строк.