Матрицы и действия над ними

Глава 1. Элементы линейной алгебры

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел вида

,

где – число столбцов, – число строк, – некоторые числа.

Обозначаются матрицы большими латинскими буквами . Коротко матрицу можно записать следующим образом: .

Обратим внимание на индексы элементов. Первый индекс означает номер строки, а второй индекс означает номер столбца, в котором расположен элемент. Так, элемент стоит во второй строке и третьем столбце.

Определение. Если в матрице число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной матрицей - го порядка.

Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы называется главной диагональю матрицы.

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой .

Пример. Единичной матрицей третьего порядка является матрица

.

Определение. Две матрицы и называются равными ,если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов), и их соответствующие элементы равны ( при всех ).

Определим действия над матрицами.

Транспонирование матриц. Дана матрица

,

Матрица называется транспонированной к матрице , если она имеет вид

,

т.е. строки матрицы являются столбцами матрицы , а столбцы матрицы – строками матрицы .

Пример. Дана матрица . Транспонированная к матрица имеет вид: .

Сложение матриц. Две матрицы одинакового размера можно складывать. Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить соответствующие элементы матриц. Так, если

, ,

то их суммой называется матрица

.

Пример. Найти сумму двух матриц:

Имеем

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению числа на соответствующие элементы матрицы . Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить на это число:

Произведение матриц. Матрицу можно умножить на матрицу , если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . В противном случае произведение не определено. Рассмотрим правило вычисления произведения матриц для случая матриц 3-го порядка. Пусть

.

Произведение обозначается следующим образом: . Элементы матрицы при этом вычисляются так:

,

,

,

…………………………………..

,

…………………………………..

.

Рассмотрим матрицу размера и матрицу размера .

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица размера , элементы которой вычисляются по формуле:

, .

Таким образом, чтобы получить элемент, стоящий в -й строке и -м столбце матрицы , нужно взять -ю строку матрицы и -й столбец матрицы и найти сумму произведений соответствующих элементов.

Пример. Найти произведение , если

Имеем

Заметим, что произведение матриц не подчиняется переместительному закону, т.е. .

Пример. Пусть

Тогда

Умножение на единичную матрицу. Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, что и число 1 при умножении чисел.

Пример. Пусть

Тогда