Целевая функция

Целевая функция линейной оптимизационной модели, представленной в стандартной форме, может подлежать как максимизации, так и минимизации. В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию.

Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Например, максимизация функции

W = 5 х ₁ + 2 х ₂ + 3 х ₃

эквивалентна минимизации функции

- W = -5 х ₁ – 2 х ₁- 3 х ₃

Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения переменных х ₁, х ₂ и х ₃ в обоих случаях будут одинаковы. Отличие заключается только в том, что при одинаковых числовых значениях целевых функций их знаки противоположны.

Упражнение 2.1. Требуется представить следующую линейную модель в стандартной форме:

минимизировать W = 2 х ₁ + 3 х ₂

при ограничениях

х ₁ + х ₂ = 10

-2 х ₁ +3 х ₂ £ -5

7 х ₁ - 4 х ₂ £ 6

х ₁ не имеет ограничения в знаке, х ₂ ³ 0.

Для перехода к стандартной форме необходимо осуществить следующие преобразования:

1. Умножить второе ограничение на –1 (знак неравенства поменяется на противоположный) и вычесть из его левой части избыточную переменную у ₁ ³ 0.

2. Прибавить остаточную переменную у ₂ ³ 0 к левой части третьего ограничения.

3. В целевой функции и во всех ограничениях осуществить подстановку х ₁= х ₁' - х ₁", где х ₁', х ₁"³ 0.

Указанные операции позволяют привести исходную модель к стандартной форме:

минимизировать W = 2 х ₁' – 2 х ₁"+ 3 х ₂

при ограничениях

х ₁' - х ₁" + х ₂ = 10

2 х ₁' - 2 х ₁" - 3 х ₂ – у ₁ = 5

7 х ₁' - 7 х ₁" - 4 х ₂ + у ₂ = 6

х ₁', х ₁", х ₂, у ₁, у ₂, ³ 0.