Самостоятельная работа №1

Постройте математические модели для приведённых ниже задач:

Задача № 1. (Задача об ассортименте продукции.) Фирма выпускает три вида продукции (изделий). В процессе производства используются три технологические операции. При производстве изделия № 1 выполняется три технологические операции. Для выпуска изделия № 2 технологическая операция 2 не выполняется, а при производстве изделия 3 используются только технологические операции 1 и 2. В таблице указано длительность технологических операций при изготовлении одного изделия каждого вида. Фонд рабочего времени, в течение которого операции 1, 2 и 3 могут быть применены для производства рассматриваемых изделий, ограничен следующими предельными значениями (в сутки): для первой операции —430 мин, для второй операции —460 мин, для третьей операции —420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 долл. соответственно. Каков наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?

Таблица 1.1.

Операция	Длительность технологических операций в мин. при изготовлении одного изделия	Ресурс общего времени
Изделие №1	Изделие №2	Изделие №3
№ 1.
№ 2.
№ 3.
ожидаемая прибыль

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Задача № 2. (Задача составления кормовой смеси, или задача о диете.) Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет ~445 г. Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов. Обычно перечень ингредиентов достаточно широк, но для того, чтобы проиллюстрировать процесс построения модели, ограничимся только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Требования к питательности рациона сформулируем также в упрощенном виде, учитывая только три вида питательных веществ: кальций, белок и клетчатку. В таблице 2.1. приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Заметим, что известняк не содержит ни белка, ни клетчатки. Смесь должна содержать:

1) не менее 0,8°/о, но не более 1,2% кальция;

2) не менее 22% белка;

3) не более 5% клетчатки.

Ингредиент	Содержание питательных веществ грамм/грамм ингредиента	Стоимость руб./грамм
Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк	169,1
Зерно	0,445	64,258	8,90
Соевые бобы	0,890	222,5	24,42

Задача № 3. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии — 60 изделий, второй линии — 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели — 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыли от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равны 30 и 20 долл. соответственно. Определите оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей.

Задача № 4. Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 ч в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия каждого вида приведены в таблице. Найдите оптимальные объемы производства изделий каждого вида.

Время обработки 1 изделия, мин

Изделие	станок 1	станок 2	станок 3	прибыль ,
				2 долл.
				3 долл.

Задача № 5. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000 долл. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 долл., а каждая минута телерекламы — в 100 долл. Фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой.

Задача № 6. Фирма производит два вида продукции —А и В. Объем сбыта продукции вида А составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 фунтов. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 фунта, а на единицу продукции В — 4 фунта. Цены продукции А и В равны 20 и 40 долл. соответственно. Определите оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Задача № 7. Фирма выпускает шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 150 до 200 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна 8 долл., а фасона 2—5 долл. Определите, какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Задача № 8. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведено в таблице. Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10 долл. для станка 1 и 15 долл.— для станка 2. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов — для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3 и 4 равны 65, 70, 55 и 45 долл. соответственно. Сформулируйте для приведенных условий задачу максимизации суммарной чистой прибыли.

Задача № 9. Завод выпускает изделия трех моделей (1, II и III). Для их изготовления используются два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют 4000 и 6000 единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведен в таблице. Трудоемкость изготовления изделия модели 1 вдвое больше, чем изделия модели II, и втрое больше, чем изделия модели III. Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий модели 1. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей 1, II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей 1, II и III должно быть равно 3: 2: 5. Удельные прибыли от реализации изделий моделей 1, II и III составляют 30, 20 и 50 долл. соответственно. Сформулируйте для данных условий задачу определения объемов выпуска изделий каждой модели, при которых прибыль будет максимальной.

Задача № 10. Денежные средства могут быть использованы для финансирования двух. проектов. Проект А гарантирует получение прибыли в размере 70 центов на вложенный доллар через год. Проект В гарантирует получение.прибыли в размере 2 долл. на каждый инвестированный доллар, но через два года. При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным двум годам, Как следует распорядиться капиталом в 100 000 долл., чтобы максимизировать суммарную величину прибыли, которую можно получить через три года после начала инвестиций? Сформулируйте данную задачу как задачу ЛП.