Графическое решение задачи. Так как модель содержит только две переменные, задачу можно решить графически

Так как модель содержит только две переменные, задачу можно решить графически. В случае трех переменных графическое решение задач становится менее наглядным, а при большем числе переменных - даже невозможным. Несмотря на это, графическое решение позволит сделать некоторые выводы, которые послужат основой для обсуждения общего метода решения задач линейного программирования.

Первый шаг при использовании графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т. е. построении области допустимых решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели.

Условия не отрицательности переменных х ₁³0 и х ₂³0 ограничивают область их допустимых значений первой четвертью в декартовой системе координат. Другие границы пространства решений изображены на плоскости х ₁, х ₂ прямыми линиями, построенными по уравнениям (4– 7), которые получаются при замене знака £ на знак = в остальных ограничениях.

Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных. Полученное таким образом пространство решений - многоугольник АВСDЕF - показан на Рис. 1.1.

В каждой точке, принадлежащей внутренней области или границам многоугольника решений АВСDЕF, все ограничения выполняются, поэтому решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели W = 3· х ₁ + 2· х ₂

При W = 0, прямая соответствующая целевой функции 0 = 3· х ₁ + 2· х ₂ проходит через начало координат, если задать значение целевой функции равное 6, прямая 6 = 3· х ₁ + 2· х ₂ пересечет ось абсцисс (х ₁) в точке х ₁ = 2, а ось ординат (х ₂) в точке х ₂ = 3. Следовательно при увеличении значения целевой функции W, соответствующая прямая сдвигается в глубь первой четверти декартовой системы координат.

Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход, в направлении возрастания целевой функции до тех пор, пока, она не сместится в область недопустимых решений. Очевидно, что оптимальному решению соответствует точка Е. (Рис. 1.2.)

Так как точка Е является точкой пересечения прямых соответствующих уравнениям (4) и (5), значения х ₁ и х ₂ в этой точке определяются решением следующей системы двух уравнений:

х ₁+2 х ₂ = 6

2 х ₁+ х ₂ = 8

Решение указанной системы уравнений дает следующий результат: х ₁ = 10/3 и х ₂ = 4/3. Полученное оптимальное решение означает, что суточный объем производства краски № 1 должен быть равен 10/3 т, а краски № 2 - 4/3 т. Доход, получаемый в этом случае, составит W = 3·10/3+2·4/3=38/3 тысяч денежных единиц.