Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 5.1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.

Теорема 5.2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

С л е д с т в и е. Целый полином Р(х)=а₀+а₁х+... +а_nхⁿ есть функция непрерывная.

Теорема 5.3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.

Теорема 5.4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Теорема 5.5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке <а,b>, то существует обратная функция х = j(y), определенная на промежутке < f(a), f(b) >, причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.

Пример. Рассмотреть обратные функции к данным:

а) ; б) .

Рассмотрим теперь непрерывность функции на множествах.

Определение 5.5. Пусть f определена на множестве Е Ì Rⁿ. Функция f называется непрерывной в точке х⁽⁰⁾ Î Е, если " e>0 $ d=d(e):

" х Î Х, удовлетворяющих условию r(х, х⁽⁰⁾) < d выполняется неравенство

çf(x)- f(x⁽⁰⁾) ç < e.

Примем без доказательства ряд простых, но важных теорем.

Теорема 5.6. (Кантора) Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, является равномерно непрерывной.

Определение 5.6. Функция у = f(х), определенная на множестве Е Ì Rⁿ называется равномерно непрерывной на Е, если

" e > 0 $ d = d(e)>0: " x^/, x^// Î E

удовлетворяющих условию r(x^/,x^//)<d будет выполнено неравенство çf(x^/) - f(x^//) ç< e.

Теорема 5.7. (Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Теорема 5.8. (Коши) Если f - непрерывна на [a, b] и f(b) = A, f(b) = B, то

" A < C < B $ x Î [a, b]: f(x) = C.

С л е д с т в и е. Если f - непрерывна на [a, b], а на концах отрезка принимает значения переменных знаков (является знакопеременной), то $ точка х₀ Î [a,b]: f(x₀) = 0.