Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной



Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+∆ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+∆ u = u(t0+∆ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = ∆ u/∆ t, поэтому производительность труда в момент t0

z = limt → 0u/t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

limx → 0y/x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

y = sin(x+x)-sin x = 2sin(∆ x/ 2) cos (x+x/ 2).

По определению производной

(sin x) ' = lim x → 0y/x

= lim x → 0 (cos (x+x/ 2)(sin ∆ x/ 2) / (∆ x/ 2)) = cos x,

так как

limx → 0cos (x+x/ 2) = cos x.

Таким образом,

(sin x) ' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

limx → 0+0y/x

limx → 0-0y/x,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) (f'(x-0)). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим ∆ y = 3(0+∆ x)+1-1=3∆ x при ∆ x>0. При ∆ x<0 ∆ y = -3(0+∆ x)+1-1=-3∆ x, значит,

limx → 0-0y/x =- 3, limx → 0+0y/x x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 138 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...