Решение нелинейных алгебраических уравнений в системе MATLAB

В начале отделим корни нелинейного алгебраического уравнения. Пусть нелинейное алгебраическое уравнение имеет вид

В MATLAB рекомендуется строить график функции f(x) для приближенного определения корней и интервалов, в пределах которых они находятся. Создается m- файл для исследуемой функции

%Функция, корни которой ищутся

function f=funl(x)

f=x.^3-3.5*x.^2+5.5*x+4

Далее в командном окне набирается последовательность команд

>> x=-1:0.1:1;

>> plot(x,funl(x)); grid on;

В результате выполнения этого набора команд появляется график исследуемой функции (рис. 6).

Рис. 6

Из графика видно, что перемена знака функции происходит на отрезке . Этот отрезок является интервалом отделения корня.

Одним из возможных путей приближенного нахождения корня является построение графика функции с небольшим значением шага - шага изменения аргумента по оси абсцисс.

>> x=-1:0.01:1;

>> plot(x,funl(x)); grid on;

Рис. 7

Из графика функции (рис. 7)видно, что приближенное значение корня .

Для решения систем нелинейных уравнений следует также использовать функцию solve из пакета Symbolic Math Toolbox. Эта функция способна выдавать результат в символьной форме, а если такого нет, то она позволяет получить решение в численном виде. Для нелинейного алгебраического уравнения решение с помощью функции solve получается следующим образом:

>> solve('x^3-3.5*x^2+5.5*x+4')

ans =

-0.5253

1.88779*i + 2.01265

2.0126 5 - 1.88779*i

Как видно из приведенного фрагмента данное уравнение третьего порядка имеет три корня: один действительный и два комплексно-сопряженных корня, функция solve легко их находить.

Расчетная часть

Для наглядности построим график:

Нахождение корней методом деления отрезка пополам:

Примерно корни находится на интервале [-10;10]

Найдем значения в данных точках:

Середина отрезка т.0, найдем значение в этой точке:

Корень уравнения -

Нахождение корней по методу Ньютона:

В качестве начального приближения выберем середину отрезка т.0

Можно закончить расчет

x=0

Нахождение корней по методу простой итерации:

Оставим 5.5x в левой части

Разделим обе части на 5.5

Приведем к виду :

Рассмотрим изменения функции на отрезке [-10:10]

-10
-9,5
-9
-8,5
-8
-7,5
-7
-6,5
-6
-5,5	8,5
-5	6,4
-4,5	4,5
-4	2,9
-3,5	1,6
-3	0,5
-2,5	0,2
-2	0,7
-1,5
-1	0,9
-0,5	0,6
0,5	0,9
1,5	3,4
	5,1
2,5
	9,3
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5

Из таблицы видно, что условие выполняется на промежутке [-1;10]

Будем уточнять корень на отрезке [-1;10]

-1	0,9090909	-2,5
-0,5	0,5909091	-1,875
0,5	-0,863636	3,875
	-2	10,5
1,5	-3,409091	20,625
	-5,090909
2,5	-7,045455	54,375
	-9,272727	79,5
3,5	-11,77273	111,125
	-14,54545
4,5	-17,59091	196,875
	-20,90909	252,5
5,5	-24,5	317,625
	-28,36364
6,5	-32,5	479,375
	-36,90909	577,5
7,5	-41,59091	688,125
	-46,54545
8,5	-51,77273	949,875
	-57,27273	1102,5
9,5	-63,04545	1270,625
	-69,09091

На шаге 3 выполняется условие выхода из итерационного процесса

Отсюда следует, что х=0