Функциональные отношения

Пусть r Í Х х Y.

Функциональное отношение – бинарное отношение r, для которого

" х Î D_r $! y Î Y: х r y.

Всюду определённое отношение – бинарное отношение r, для которого D_r =Х ("нет одиноких х ").

Сюръективное отношение – бинарное отношение r, для которого J_r = Y ("нет одиноких y ").

Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным х соответствуют разные у.

Биекция – функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.

Например:

Пусть r = { (x, y) Î R² | y² + x² = 1, y > 0 }.

Отношение r - функционально,

не всюду определено ("есть одинокие х "),

не инъективно (есть разные х, которым соответствуют одинаковые у),

не сюръективно ("есть одинокие у "),

не биекция.

Например:

Пусть Ã= {(x,y) Î R² | y = x+1}

Отношение Ã- функционально,

Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х "),

Отношение Ã- инъективно (нет разных х, которым соответствуют одинаковые у),

Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у "),

Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.

Например:

Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N₄.

Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)

Отношение j - не всюду определенно D _j={1,2,3}¹ N₄

Отношение j - не сюръективно I _j={1,2,3}¹ N₄

Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).

Задание к лабораторной работе

1. Заданы множества N1 и N2. Вычислить множества:

(N1 х N2) Ç (N2 х N1);

(N1 х N2) È (N2 х N1);

(N1 Ç N2) x (N1 Ç N2);

(N1 È N2) x (N1 È N2),

где N1 = { цифры номера зачетной книжки, три последние };

N2 = { цифры даты и номера месяца рождения }.

2. Отношения r и g заданы на множестве N₆={1,2,3,4,5,6}.

Описать отношения r, g, r ^-1, r ○ g, r^{- 1} ○ g списком пар.

Найти матрицы отношений r и g.

Для каждого отношения определить область определения и область значений.

Определить свойства отношений.

Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.

Выделить отношения порядка и классифицировать их.

1) r = { (m, n) | m > n }

g = { (m, n) | сравнение по модулю 2 }

2) r = { (m, n) | (m - n) делится на 2 }

g = { (m, n) | m делитель n }

3) r = { (m, n) | m < n }

g = { (m, n) | сравнение по модулю 3 }

4) r = { (m, n) | (m + n) - четно }

g = { (m, n) | m²=n }

5) r = { (m, n) | m / n -степень 2 }

g = { (m, n) | m = n }

6) r = { (m, n) | m / n -четно }

g = { (m, n) | m ³ n }

7) r = { (m, n) | m / n -нечетно }

g = { (m, n) | сравнение по модулю 4 }

8) r = { (m, n) | m * n -четно }

g = { (m, n) | m £ n }

9) r = { (m, n) | сравнение по модулю 5 }

g = { (m, n) | m делится на n }

10) r = { (m, n) | m - четно, n - четно }

g = { (m, n) | m делитель n }

11) r = { (m, n) | m = n }

g = { (m, n) | (m + n) £ 5 }

12) r = { (m, n) | m и n имеют одинаковый остаток от деления на 3 }

g = { (m, n) | (m - n) ³2 }

13) r = { (m, n) | (m + n) делится нацело на 2 }

g = { (m, n) | 2 £ (m - n) £4 }

14) r = { (m, n) | (m + n) делится нацело на 3 }

g = { (m, n) | m ¹ n }

15) r = { (m, n) | m и n имеют общий делитель }

g = { (m, n) | m ² £ n }

16) r = { (m, n) | (m - n) делится нацело на 2 }

g = { (m, n) | m < n +2 }

17) r = { (m, n) | сравнение по модулю 4 }

g = { (m, n) | m £ n }

18) r = { (m, n) | m делится нацело на n }

g = { (m, n) | m ¹ n, m- четно }

19) r = { (m, n) | сравнение по модулю 3 }

g = { (m, n) | 1 £ (m - n) £3 }

20) r = { (m, n) | (m - n) делится нацело на 4 }

g = { (m, n) | m ¹ n }

21) r = { (m, n) | m - нечетно, n - нечетно }

g = { (m, n) | m £ n, n- четно }

22) r = { (m, n) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }

g = { (m, n) | (m - n) ³1 }

23) r = { (m, n) | m * n -нечетно }

g = { (m, n) | сравнение по модулю 2 }

24) r = { (m, n) | m * n -четно }

g = { (m, n) | 1 £ (m - n) £3 }

25) r = { (m, n) | (m + n) - четно }

g = { (m, n) | m не делится нацело на n }

26) r = { (m, n) | m = n }

g = { (m, n) | m делится нацело на n }

27) r = { (m, n) | (m - n)- четно }

g = { (m, n) | m делитель n }

28) r = { (m, n) | (m - n) ³2 }

g = { (m, n) | m делится нацело на n }

29) r = { (m, n) | m ² ³ n }

g = { (m, n) | m / n -нечетно }

30) r = { (m, n) | m ³ n, m -четно }

g = { (m, n) | m и n имеют общий делитель, отличный от 1 }

3. Определить является ли заданное отношение f -функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R - множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.

Выполнить это же задание для отношений r и g из пункта 3 лабораторной работы.

1) f={ (x, y) Î R ² | y=1/x +7x }

2) f={ (x, y) Î R ² | x ³ y }

3) f={ (x, y) Î R ² | y ³ x }

4) f={ (x, y) Î R ² | y ³ x, x ³ 0 }

5) f={ (x, y) Î R ² | y² + x² = 1 }

6) f={ (x, y) Î R ² | 2 | y | + | x | = 1 }

7) f={ (x, y) Î R ² | x + y £ 1 }

8) f={ (x, y) Î R ² | x = y² }

9) f={ (x, y) Î R ² | y = x³ + 1}

10) f={ (x, y) Î R ² | y = -x² }

11) f={ (x, y) Î R ² | | y | + | x | = 1 }

12) f={ (x, y) Î R ² | x = y ^-2 }

13) f={ (x, y) Î R ² | y² + x² ³ 1, y > 0 }

14) f={ (x, y) Î R ² | y² + x² = 1, x > 0 }

15) f={ (x, y) Î R ² | y² + x² £ 1, x > 0 }

16) f={ (x, y) Î R ² | x = y², x ³ 0 }

17) f={ (x, y) Î R ² | y = sin(3x + p) }

18) f={ (x, y) Î R ² | y = 1 /cos x }

19) f={ (x, y) Î R ² | y = 2| x | + 3 }

20) f={ (x, y) Î R ² | y = | 2x + 1| }

21) f={ (x, y) Î R ² | y = 3^x }

22) f={ (x, y) Î R ² | y = e^-x }

23) f ={ (x, y) Î R ² | y = e^{| x |} }

24) f={ (x, y) Î R ² | y = cos(3x) - 2 }

25) f={ (x, y) Î R ² | y = 3x² - 2 }

26) f={ (x, y) Î R ² | y = 1 / (x + 2) }

27) f={ (x, y) Î R ² | y = ln(2x) - 2 }

28) f={ (x, y) Î R ² | y = | 4x -1| + 2 }

29) f={ (x, y) Î R ² | y = 1 / (x²+2x-5)}

30) f={ (x, y) Î R ² | x = y³, y ³ - 2 }.

Контрольные вопросы

1.Декартово или прямое произведение множеств.

2.Определение бинарного отношения.

3.Способы описания бинарных отношений.

4.Область определения и область значений.

5.Свойства бинарных отношений.

6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.

7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.

8.Классы вычетов по модулю m.

9.Функциональные отношения.

10. Инъекция, сюръекция, биекция.

Лабораторная работа № 3