СКП функции измеренных величин

Часто искомую величину Z нельзя измерить непосредственно. Ее значение должно быть рассчитано на основе известной зависимости от одной или нескольких измеренных величин

Z=f(x,y,...,t),

где f — известная функциональная зависимость,

х, у,..., t— измеренные величины.

Примерами могут служить: определение дальности видимого горизонта (измеряется высота глаза наблюдателя над уровнем моря), расчет скорости судна по обсервациям (измеряются пройденное расстояние и промежуток времени между моментами обсерваций) и т.п.

Значения измеренных величин содержат погрешности, следовательно, и значение Z будет определено с погрешностью.

Средняя квадратическая погрешность функции (СКПФ), аргументы которой измерены независимо друг от друга, определяется по формуле

где дz/дх, dz/ду,..., дz/дt - частные производные по измеренным аргументам;

т_х, т_у,..., т_t - СКП измеренных аргументов.

Примечания.

1. Вычисление частных производных аналогично вычислению обыкновенных производных. Только переменные, по которым производная не берется, считаются постоянными. Таблица производных приведена в Приложении 5.

2. СКПФ имеет размерность самой функции, поэтому при выполнении расчетов следует приводить размерности слагаемых под радикалом в формуле (8.2) к размерности функции в квадрате.

3. Полезно помнить, что, если функция задана в виде Z=a*x^m*yⁿ, то дz/дx-=m*(z/x), дz/дy=n*(z/y). Это справедливо для любого числа сомножителей и любых, в том числе отрицательных и дробных, показателей степеней. При подстановке частных производных под радикал в общую формулу размерности т_х и х, т_у и у и т.д. сократятся и останется только размерность самой функции Z. Если функция Z состоит из двух и более слагаемых, описанный прием применять нельзя и вычисления выполняются по общим правилам.

Пример 8.1 Дальность видимого горизонта D в милях была определена по формуле

D = 2,08, (8.3)

где е - высота глаза наблюдателя над уровнем моря в метрах.

Определить D и т_D, если е = 16 м; т_е = ± 50 см.

Решение

1. Вычисляем D: D = 2,08= 8,32 мили.

2. Находим частную производную по переменной е. Для этого воспользуемся приемом, описанным в примечании 3. Предварительно приведем в соответствие размерности е и т_е. Выразим т_е в метрах: т_е= ±0,5 м., перепишем формулу (8.3) в виде

D = 2,08e^0,5; тогда:

дZ/де = 0,5(D/e) = 0,5(8,32/16) = 0,26.

3. Подставляем найденное значение в формулу (8.2). Поскольку под знаком радикала только одно слагаемое, будем иметь

m_D = ±дD/дe m_e.

4. Вычисляем т_D

m_D = ±0,26*0,5= ±0,13 мили.

Ответ: D = 8,3 мили; m_D = ±0,1 мили.

Пример 8.2 При плавании вблизи берега определили скорость судна по двум РЛС обсервациям на крупномасштабной карте

V=S/T, (8.4)

где V— скорость судна в узлах;

S— снятое с карты расстояние между обсервованными точками в

милях; Т— промежуток времени между обсервациями в часах.

Определить V и т_v, если

S = 16,3 мили; m_s = ± 0,15 мили (с учетом масштаба карты и точности обсерваций); T=01^ч 00^м; m_T = ±20ceк.

Решение

1. Вычисляем V, учитывая, что узел это миля/час

V=16,3/l,00= 16,3узл.

2. Находим частные производные по переменным S и Т. В этой задаче также можно воспользоваться приемом из примечания 3, но для примера выполним вычисление частных производных по общим правилам.Для этого формулу (8.4) перепишем в виде V = S T^-1, тогда

дV/дS =1/Т; дV/дТ= -1 ST^-2.

3. Подставляем найденные значения в формулу (8.2) и проверяем размерности подкоренных слагаемых

Размерность первого слагаемого – узел². Чтобы второе слагаемое имело такую же размерность, необходимо т_T выразить в часах.

4. Приводим размерности в соответствие, вычисляем m_V

Ответ V= 16,3 узла; m_v= ± 0,2 узла.

Пример 8.3 Угол дрейфа в градусах определен по формуле

α=K(W/V)²sinq, где К- коэффициент дрейфа, градусы;

W- скорость кажущегося ветра, м/с;

V- скорость судна, м/с;

q - курсовой угол ветра, градусы.

Определить α и т_α, если

K=0,8° m_K=±0,1°; W= 17 м/с m_W =±2 м/c; q=60° m_q = ±10°; V= 12 узлов.

Решение

• Определяем угол α, для чего выразим V в м/с

V= 12*1852/3600 = 6,2 м/с.

α = 0,8°(17/6,2)² sin60° = 5,2°.

• Определяем частные производные по К, W, q. Для расчета дα /дК, дα/dW воспользуемся способом из примечания 3

дα/дК= α/К; дα /дW= 2a/W.

Рассчитываем дα/дq = K(W/V)²(sinq)' = K(W/V)² cosq.

Умножим и разделим полученное выражение на sinq:

да/dq = K(W/V)²sinqcosq/sinq = α/tgq.

3. Подставляем полученные значения в формулу (8.2) и проверяем размерности:

размерность первого и второго слагаемых - градусы в квадрате. Чтобы размерность третьего слагаемого была такой же, необходимо m_q перевести в безразмерную величину, т.е. в радианы.

4. Приводим размерности в соответствие, вычисляем т_а:

Ответ α = 5°; т_а = ±1,5°.

В задачах №№ 421-450 рассчитать значение функции измеренных величин, СКПФ.

421. Для расчета расстояния от судна до маяка в милях была использована приближенная формула

D= 13/7*h/α, где

h - высота маяка в метрах,

α - измеренный в угловых минутах вертикальный угол. Определить D и m_D, если:

h = 50 м; m_h = ±25 см;

α = 5,0'; m_a = ±31".

422. Поправка за приведение высоты к одному зениту в угловых минутах определяется по формуле:

∆h_z = (V/60)cos (A-K) ∆T^m, где

V - скорость судна в узлах,

∆T^m - промежуток времени между измерениями высот в мин.,

А - азимут светила, градусы

K - курс судна в градусах.

Определить ∆h_z и т_∆hz, если:

V= 12 узлов; m_v= ±0,5 м/с;

А =201°; m_a =±32';

∆T^m = 2,5 мин; m_∆Tm =±3,6 сек;

K = 221°.

423. Поправка за приведение высоты к одному моменту в угловых минутах определяется по формуле:

∆h_T= 0,25 cosφsinA∆T^c, где

φ - широта судна;

А - азимут светила в градусах;

∆T^c - промежуток времени между измерениями высот в сек.

Определить ∆h_T и т_∆hT, если:

φ = 42°40,3'N; m_φ = ±3,5';

А =127°; m_A = ±32';

∆T^c=56 c; m_∆Tc = ±2,4 c.

424. Азимут Солнца в момент видимого восхода или захода его верхнего края определяется по формуле:

где φ - широта судна;

- склонение Солнца.

Определить А в градусах и т_A, если:

φ = 46°27,3'N; т_φ = ±1,4';

= 15°44,7'N.

425. Период циркуляции судна Т_Ц в мин равен

Т_Ц =πD_o/(30,8V), где

V- линейная скорость судна на циркуляции, узлы;

D₀ - диаметр установившейся циркуляции, метры.

Определить Т_Ц и m_ТЦ, если:

D₀ = 560 м; m_Do = ±25 м;

V = 12 узл.; m_v = ±0,33 м/с.

426. Время поворота судна T_γ (мин) на заданный угол γ °определяется из выражения: Т = Т_Ц γ/360.

Определить T_γ и m_Tγ, если:

Тц = 5,2 мин; т_Тц =±24,6 сек;

γ = 59°; m_γ =±56,4'.

427. Локсодромическая длина S в морских милях определяется по формуле:

S=РШ/cosK_л , где

РШ - разность широт в угловых минутах;

К_л - локсодромический курс.

Определить S и m_s, если:

РШ = -2212,3'; т_РШ = ±48,3';

К_л = 106,9°; т_Kл =±57,1'.

428. Локсодромическая длина S в морских милях при некоторых значениях локсодромического курса (| cos К_л| <0,01) определяется по формуле:

S=|РД| cosφ₁, где

РД = λ₂ – λ₁ - разность долгот в угловых минутах;

φ₁ - широта исходной точки.

Определить S и m_s, если:

φ₁= 35°40,2' N; m _φ1 = ±2,3';

λ₂ = 74°21,7' W; m _λ2 = ±1,8';

λ₁ = 56°15,9' Е; m _λ1 =±3,7'.

429. Определить S и т_s (см. задачу 427), если:

РШ= φ₂ - φ_1;

φ₁ = 28°31,7' N; m_φ1 = ±l,9';

φ₂= 9°46,0' N; m_φ2 = ±2,3';

K_Л=148°; m_Kл = ±48,8'.

430. Тактический диаметр циркуляции судна в балласте D_ц (м) определяется из выражения

D_ц = 0,263 (C_DB/L)^-1,14 L, где

C_D - коэффициент полноты водоизмещения;

B и L - ширина и длина судна, м.

Определить D_ц и m_Dц, если:

C_D = 0,52;

B =27 м; m_B = ±35см;

L = 125 м; m_L = ±59 см.

431. Тактический диаметр циркуляции судна в грузу Dц (м) определяется из выражения

D_ц =0,353 (C_DB/L)^-1,08L.

Определить D_ц и m_Dц.

Значения переменных и их СКП указаны в предыдущей задаче.

432. Значение относительной скорости на циркуляции для крупнотоннажных судов после поворота более чем на 180° определяется по формуле:

V/V_Н = 0,143 (D_ц/L)^0,836, где

V_H - начальная скорость судна;

D_ц - тактический диаметр циркуляции;

L - длина судна.

Определить V и m_v, если:

V_H= 16узл.;

Dц = 725 м; т_Dц = ±8,3 м;

L =125м; m_L =±140 см.

433. Угловая скорость вращения судна на установившейся циркуляции (рад/с) равна:

ω = 1,028 V/D₀, где

V— линейная скорость на циркуляции, узл;

D₀ - диаметр установившейся циркуляции, м.

Определить ω и m_ω, если:

V =16узл.; m_V= ±57 см/с;

D₀= 635 м; т_Do= ±72 см.

434. Приблизительная зависимость диаметра циркуляции D (м) от угла кладки руля (градусы) может быть выражена формулой:

D = 6,1δ^-0,509 D_ц , где

D_ц - тактический диаметр циркуляции при положении руля δ =35°

Определить D и m_D, если:

δ =18°; m_δ = ±12';

Dц = 647 м; т_Dц = ±680 см.

435. Ширина полосы W, занимаемая корпусом судна во время поворота может быть определена

W= Bcosa + Lsina, где

В и L — ширина и длина судна, м;

а - угол поворота, градусы.

Определить W и m_w, если:

B =17м;

L = 113 м; m_L = ±120 см;

а = 35°; т_а = ±24'.

436. Значение угла крена на циркуляции Θ в градусах может быть

приблизительно рассчитано по формуле

где Vн - начальная скорость судна, узл.;

Z_g - аппликата центра тяжести судна, м;

h - начальная метацентрическая высота, м;

Т - средняя осадка судна, м;

L - длина судна, м.

Определить Θ и т_Θ, если:

V_Н =16узл; z_g =5 м; T = 8 м;

h = 0,57 м; m_h = ±2см;

L = 122 м; m_L =±140 см.

437. Время (с) разгона судна до заданной скорости рассчитывают из выражения

t=0,025 DVnd/N, где

D - водоизмещение судна, т;

V- скорость судна, узл.;

n - частота вращения гребного винта, об/мин;

d - диаметр гребного винта, м;

N - мощность двигателя, кВт.

Определить t и т,, если:

V=12узл.; d= 4,55 м;

D = 10050 т; m_D = ±20,5 т;

п = 103 об/мин; т_n = ±2 об/мин;

N = 4048 кВт; m_N = ±520 Вт.

438. Сила натяжения швартовов (кН) под действием ветра оценивается

F_h= S V²/1,63, где

S - площадь парусности надводной части судна, м²,

V - скорость ветра, м/с.

Определить F_H и m_FH, если:

S =168m²; m_S = ±21000см²;

V =5m/c; m_V =±12 см/с.

439. Наименьшая глубина, до которой не проявляется влияние мелководья, определяется по формуле

H=4T+3V²/g, где

Т - средняя осадка неподвижного судна, м;

V - скорость судна, м/с;

g- ускорение свободного падения, м/с².

Определить Н и m_Н, если:

g = 9,81 м/с²;

Т = 6,7 м; m_T = ±53см;

V= 8,3 м/с; m_V =±70 см/с.

440. Наименьшая безопасная дистанция при обгоне судов на глубокой воде определяется соотношением

d_T=(L +ε)tga, где

а - угол системы расхождения волн;

ε - условная величина (ε 0,5L), м;

L - длина судна, м. Определить d_T и m_dT, если:

L =122м; m_L = ±135см;

ε = 74 м; т_е = ±55 см;

а =19°; m_a = ±18'.

441. Критическая скорость (узл), при которой большие массы воды в виде волны, идут впереди носовой части судна в каналах, определяется формулой

V_КР = k, где

k=0,225

Определить V_КР и т_VКР, если:

g= 9,81 м/с²;

H =12м; m_H ⁼±36см;

n = 5,5м; m_n =±0,12.

442. Для того чтобы обнажить часть борта путем перемещения груза, вычисляют необходимый угол крена Θ:

tgΘ = 2 Н/В, где

Н - высота борта, которая должна выйти из воды, м;

В - ширина судна, м

Определить Θ и m_Θ, если:

H =6,8м; m_H = ±51см;

B = 17 м; т_B = ±1,1м.

443. Метацентрическая высота определяется по формуле

h = 57,3mb/(DΘ), где

т - масса балласта, т;

D - водоизмещение судна, т;

b - плечо перемещения балласта, м;

k - отклонение веска от среднего положения,

tgΘ = k/l,

l - длина от точки подвеса веска до шкалы.

Определить h и m_h, если:

b = 1,7 м; D = 10050 т; l = 1,5 м;

т = 50 т; т_т = ±270 кг;

k = 0,05 м; m_k = ±0,03 см.

444. Угол дрейфа может быть рассчитан по формуле

a=K(W/V)sinq, где

К— коэффициент дрейфа, градусы;

W— скорость кажущегося ветра, м/с;

V- скорость судна, м/с;

q — курсовой угол кажущегося ветра, градусы.

Определить а и т_а, если:

К= 7°; m_K=± 18’;

W =10 м/c; m_W =±0,35 узл.;

q = 67°; m_q =±30'.

V= 6,69 м/с;

445. Путевой угол судна - ПУ и истинная скорость - V при наличии течения могут быть рассчитаны по формулам

ПУ=ИК+β;

β = 57,3° V_T/V_Лsinр;

V=V_Л+V_Tsinp.

Рассчитать ПУ, m_ПУ, V и m_v, если известны скорость течения V_T, угол между направлением течения и линией пути судна р. Принять, что ИК и скорость судна V_л определены безошибочно:

V_Т =1,2 узл.; m_VT =±0,012 м/с;

p = 48°; т_р =±18';

ИК =213°; V_л =11,1 узл.

446. При аналитическом учете течения угол сноса β может быть рассчитан по формуле

cosec β = (cosec p)/m.

Рассчитать β и m_β, если полагать, что угол между направлением линии пути и течения р и отношение скоростей течения и судна по лагу m известны с СКП m_Р и m_m.

m = 0,3; m_m =±0,0017;

p = 37°; m_P=±12'.

447. Определить скорость ветрового течения V_T и m_VT, если:

V_T = 0,136V/, где

V - скорость истинного ветра, м/с;

φ - широта места судна.

V= 12 м/с; m_V=± 0,5узл.;

φ =15° N; m_φ =±24'.

448. С помощью судовой РЛС, по бую с радиолокационным пассивным отражателем, определялась поправка лага ∆_л%. Для расчета пользовались формулами:

где D₂ и D₁ - расстояния, измеренные в конце и начале пробега;

ОЛ₂ и OЛ₁ - отсчеты лага, соответствующие концу и началу пробега.

Определить ∆_л% и т_∆Л%, если:

D₁ = 2,95 мили; m_D1 =±0,2 кбт;

D₂ = 1,55 мили; m_D2 =±0.12 кбт;

ОЛ₁ = 14,05 мили; т_ОЛ1 =±0,22 мили;

ОЛ₂ =15,27 мили; m_ОЛ2 =±0,27 мили.

449. Определение диаметра циркуляции в открытом море возможно с помощью лага. Он определяется по формуле

D_Ц =114,6 S/a,

где пройденное по лагу расстояние рассчитывается так:

S = (ОЛ₂-ОЛ₁)К_л,

а угол поворота определяется как разность компасных курсов

а = |КК₂-КК₁|, где

Кл - коэффициент лага;

ОЛ₂ и ОЛ₁ - отсчеты лага.

Определить D_Ц и m_Dц, если:

ОЛ₁ = 27,15 мили; т_OЛ1 =±0,3 кбт;

ОЛ₂ = 27,89 мили; т_OЛ2 =±0,2 кбт;

KK₁ = 190°; т_KK1 =±5';

КК₂ = 67°; m_KK2=± 7';

К_л = 0,93; m_Кл =±0,01.

450. При определении скорости хода по трем разновременным расстояниям до одного предмета применяют формулу

где D_i - расстояние до объекта в кбт;

t_i - показания секундомера в моменты измерения расстояния в мин;

V- скорость в узлах.

Определить V и m_v, ecли:

D₁ = 27 кбт; D₂ = 36 кбт; D₃ = 45 кбт;

t₁ = 0^м00^c; t₂ = 14^м13^c; t₃ = 24^м32^с;

m_Di составляет ± 2% от измеренного расстояния.