При умножении и делении в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством значащих цифр

Пример 1.1. Сложить 23,7; 4,169; 150,24.

Решение:

23,7

4,169

150.24

178,109 Ответ: 178,1

Пример 1.2. Умножить 3,7 и 150,24.

Решение: Если бы эти числа были точными, результат равнялся бы 555,888. Но по второму правилу действий с приближенными числами в результате должны остаться только 2 значащих цифры (сколько в числе 3,7). Поэтому округляем последнюю (вторую) значащую цифру до 6 и записываем ответ: 560.

В ответе 0 не является значащей цифрой. В этом легко убедиться, подставив вместо округленного числа 3,7 его более точные значения: 3,74 и 3,68. После умножения на 150,24 по правилам точных чисел получим соответственно 561,8976 и 552,8832. Поэтому можно уверенно говорить о количестве сотен, округленном количестве десятков, а количество единиц совершенно неопределенно и заменяется незначащим нулем.

Приведем еще несколько правил, которыми следует руководствоваться при вычислениях:

• в конкретных задачах, где это предусмотрено, вычисления должны вестись в типовых схемах;

• все записи выполняются простым карандашом;

• промежуточные вычисления ведутся с точностью на порядок выше исходной информации;

• при заполнении вычислительных схем числа подписываются одно под другим разряд под разрядом;

• размерности чисел в вычислительных схемах указываются в начале и конце колонки. 3,167; 456,87; 0,50081

В задачах №№ 1-30 выполнить указанные

действия по правилам приближенных чисел.

№№ Сложить числа Умножить числа №№ Сложить числа Умножить числа   3,167; 456,87; 0,50081 56,87; 1,50   380,72; 167,9; 54,8 56,87; 1,50   23,8657; 56,8; 0,65677 83,87; 56,8   23,8657; 56,8; 0,65677 83,87; 56,8   2; 380,73; 49,1; 138 4; 138   2; 380,73; 49,1; 138 4; 138   16,4; 254,45; 34,982 26,4; 24,45   16,4; 254,45; 34,982 26,4; 24,45   1,3; 167,9; 86,3 8,3; 167,9   1,3; 167,9; 86,3 8,3; 167,9   67,99; 100,54; 1,7 200,54; 1,7   67,99; 100,54; 1,7 200,54; 1,7   2; 49,1; 138 4; 49,1   2; 49,1; 138 4; 49,1   73; 16,4; 34,982; 86,3 53; 86,3   73; 16,4; 34,982; 86,3 53; 86,3   1,3; 167,9; 254,45 3,3; 167,9   1,3; 167,9; 254,45 3,3; 167,9   380,72; 167,9; 54,8 667,9; 54,8   380,72; 167,9; 54,8 667,9; 54,8   49,1; 138; 456,87; 59,1; 138   49,1; 138; 456,87; 59,1; 138   16,4; 254,45; 34,982 36,4; 24,45   16,4; 254,45; 34,982 36,4; 24,45   1,3; 2; 380,73 2,3; 2   1,3; 2; 380,73 2,3; 2   65,90; 4,4519; 0,043 4,9; 40,043   65,90; 4,4519; 0,043 4,9; 40,043   167,9; 254,45; 1,8 467,9; 1,8   167,9; 254,45; 1,8 467,9; 1,8   380,72; 167,9; 54,8 267,9; 54,8     267,9; 54,8   49,1; 538; 456,87; 79,1; 538   49,1; 538; 456,87; 79,1; 538   16,4; 254,45; 34,982 36,4; 254,45   16,4; 254,45; 34,982 36,4; 254,45   2; 380,73; 7,3; 7- 7 3-   2; 380,73; 7,3; 7- 7 3-   65,90; 4,4519; 67,964 25,90; 4,451   65,90; 4,4519; 67,964 25,90; 4,451   0,043; 56,04; 6,1 66,04; 6,1   0,043; 56,04; 6,1 66,04; 6,1   361,0; 45,876; 40,01 261,0; 40,01   361,0; 45,876; 40,01 261,0; 40,01   809; 84,1; 67,883 609; 84,1   809; 84,1; 67,883 609; 84,1   345,29; 54,7; 0,01 45,29; 54,7   345,29; 54,7; 0,01 45,29; 54,7   5,225; 0,04; 100 7,225; 200   5,225; 0,04; 100 7,225; 200   254,45; 34,982; 55,5 54,982; 55,5   254,45; 34,982; 55,5 54,982; 55,5   21,3; 167,9; 254,45 31,3; 167,9   21,3; 167,9; 254,45 31,3; 167,9   80,72; 567,4; 54,8 267,4; 54,8   80,72; 567,4; 54,8 267,4; 54,8   149,1; 338; 456,87 549,1; 338   149,1; 338; 456,87 549,1; 338   1,4; 254,45; 34,982 2,4; 254,45   1,4; 254,45; 34,982 2,4; 254,45

Работа с таблицами

Судоводителю приходится иметь дело с большим количеством разнообразных таблиц. В зависимости от числа аргументов они бывают одно-, двух-, иногда трехаргументными таблицами.

Самыми простыми являются одноаргументные, так называемые, безинтерполяционные таблицы. В них для определенного интервала аргумента приводится одно значение функции. Примером может служить таблица поправки за наклонение горизонта, фрагмент которой показан в табл.1. Для всех значений высоты глаза от 5.26 м до 5.52 м дано одно и то же значение наклонения —4.1'. В таких таблицах никакой интерполяции не требуется.

В Приложении 1 (Функция Лапласа) тоже один аргумент — z, но здесь уже требуется интерполяция. Так, например, для z = 1,615 значение вероятности равно 0,894.

В Приложении 3 приведена двухаргументная таблица азимута восхода, захода верхнего края Солнца. В ней нужно интерполировать по обоим аргументам: по φ и δ.

Пример 2.1 С помощью Приложения 3 определить азимут восхода верхнего края Солнца, если известно, что (φ = 35°21' N, δ =16°28' N.

Решение. Выбираем азимуты для ближайших значений аргументов 35° и 36° по φ и 16° и 17° по δ.

δ 16° 17°

φ

35° 69,6 68,4

36° 69,3 68,1

Выберем за начальный азимут для меньшей широты и меньшего склонения — 69,6°. Произведем вначале интерполяцию по широте. Для этого составим пропорцию:

При изменении φ на 60' азимут изменяется на —0,3° При изменении φ на 21' азимут изменяется на х

Таким образом, интерполированные по широте значения азимута составят 69,5° и 68,3° для склонений 16° и 17° соответственно.

Теперь выполняем интерполяцию по склонению. Для этого составим пропорцию:

При изменении δ на 60' азимут изменяется на —1,2°

При изменении δна 28' азимут изменяется на х

Таким образом, окончательное значение азимута 69,5° - 0,4° = 69,1°.

Ответ: А=69,1° NE.

Такой же ответ был бы получен, если бы двойная интерполяция производилась сначала по δ, а потом по φ.

В табл. 2 дан пример трехаргументной таблицы. В ней аргументами являются сезон (дата), край Солнца и видимая высота, причем все три аргумента не требуют интерполяции.

ем	d		hв	Апр.-сент.	hв	Окт.-март
3.18.39.	-3.2' .3		Δ hо	Δ hо'	Δ hо	Δ hо'
.60	.4	13 45	+12.2	-19.6	13 33	+12.4	-19,9
.82	.5	14 06	+12.3	-19.5	14 55	+12.5	-19.8
4.04	.6	14 29	+12.4	-19.4	14 17	+12.6	-19.7
.27	.7	1453	+12.5	-19.3	14 40	+12.7	-19.6
.51	.8		15 19	+ 12.6	-19.2	15 05	+12.8	-19.5
.75	.9		15 45	+12.7	-19.1	15 31	+12.9	-19.4
5.00	-4.0			+128	-19.0	15 58	+13.0	-19.3
.26	.1 .2			+12.9	-18.9	16 27	+13.1	-19.2
.52			17 14	+13.0	-18.8	16 58	+13.2	-19.1
.79	.3

Любая таблица может быть использована как для прямой, так и для обратной выборки. Так, например, прямая выборка из Приложения 1 позволяет определить вероятность того, что случайная величина попадает в интервал, равный среднему квадратическому отклонению, умноженному на z.

С помощью этой же таблицы можно решить обратную задачу: найти интервал на числовой оси для заданной вероятности. Эта задача решается с помощью обратной выборки.

Пример 2.2. Определить интервал на числовой оси, в котором заключена нормально распределенная случайная величина с вероятностью 90%.

Решение

Задача сводится к отысканию в поле таблицы Приложения 1 вероятности 0,9 (90%) и выборке соответствующего ей аргумента z. Находим в таблице ближайшие к заданному вероятности: 0,899 и 0,901. Им соответствуют значения z, равные 1,64 и 1,65. Видим, чтобы получить заданную вероятность, надо табличную 0,899 увеличить на 0,001. Составляем пропорцию:

изменению вероятности на 0,002 соответствует изменение z на 0,01

изменению вероятности на 0,001 соответствует изменение z на х

х = 0,005

Таким образом, z= 1,645.

Ответ: Интервал на числовой оси равен математическому ожиданию случайной величины ± 1,645 σ, где σ — среднее квадратическое отклонение.

В задачах №№ 31—60 из Приложения 3 двойной интерполяцией по заданным φ и δ найти азимут восхода верхнего края Солнца и обратной выборкой из Приложения 1 найти по заданной вероятности z.