![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме:
Теорема 2. Пусть функция U = U (x) и V = V (x) дифференцируемы на некотором интервале (a; b). Пусть на (a; b) функция V (x)× U ’(x) имеет первообразную. Тогда на (a; b) функция U (x)× V ’(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:
.
Доказательство. По форме дифференцирования:
(U (x)× V (x))’ = U ’(x)× V (x) + U (x)× V ’(x).
По свойству неопределенного интеграла:
.
Тогда можно записать:
Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:
.
Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подинтегральное выражение на два множителя u (x) и dV (x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.
Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на следующие три группы.
1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2 x; lnj(x); arcsin2 x;…
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.
Тогда за функцию u (x) берут соответствующую из перечисленных.
2) Ко второй группе относятся интегралы вида
,
,
,
,
где a,b,a,,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.
При этом в качестве u (x) следует брать (ax + b) n и интегрировать по частям n раз.
3) К третьей группе относятся интегралы вида:
,
,
,
,
,
,
где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A # 1.
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u (x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.
Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
23 вопрос:
Предел интегральной суммы S функции f (x) на [ a;b ] при n ® ¥ и max D xk ® 0 называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения [ a;b ] на части, ни от выбора точек Mk (k = 1;… n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:
.
При этом отрезок [ a;b ] называют отрезком интегрирования, “ a” –нижним пределом интегрирования, “b” –верхним пределом.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!