Ñòóäîïåäèÿ.Îðã Ãëàâíàÿ | Ñëó÷àéíàÿ ñòðàíèöà | Êîíòàêòû | Ìû ïîìîæåì â íàïèñàíèè âàøåé ðàáîòû!  
 

Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü



Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ïîíÿòèå ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ âàæíûõ â ìàòåìàòèêå, ôèçèêå è åñòåñòâåííûõ íàóêàõ. Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîíÿòèÿ ôóíêöèè íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïèñàòü âñåâîçìîæíûå ïðè÷èííûå ñâÿçè, ñ êîòîðûìè æèçíü íàñ ñòàëêèâàåò ïîâñåäíåâíî.

Ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî ìåæäó ðîñòîì è âåñîì ÷åëîâåêà ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ çàâèñèìîñòü. Íî ñòîëü æå ÿñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò ñêîëüêî óãîäíî ëþäåé ñ îäèíàêîâûì ðîñòîì, íî ðàçíûì âåñîì. Ñëåäîâàòåëüíî, çàâèñèìîñòü âåñà îò ðîñòà íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé, ò.ê. ôóíêöèè îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïî çàäàííîìó çíà÷åíèþ íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî õ ìîæíî íàéòè åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ó. Òàêèì îáðàçîì íå ìîæåò áûòü òàêîé ôîðìóëû, ïî êîòîðîé, çíàÿ òî÷íûé ðîñò, ìû íàõîäèëè áû òî÷íûé âåñ.

Àãà, ñêàæåò íàø äîãàäëèâûé ÷èòàòåëü! Âåñ çàâèñèò íå òîëüêî îò ðîñòà, íî è îò ðàçìåðà òàëèè! Íåñîìíåííî òàê, îòâåòèì ìû, íî â òî æå âðåìÿ ìîæíî íàéòè ñêîëüêî óãîäíî ëþäåé ñ îäèíàêîâûì ðîñòîì è îäèíàêîâîé òàëèåé, ó êîòîðûõ, òåì íå ìåíåå, âåñ ðàçëè÷íûé. Ñëåäîâàòåëüíî, âåñ íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî äâóõ ïåðåìåííûõ – ðîñòà è ðàçìåðà òàëèè. Âñå ÿñíî, ñêàæåò ÷èòàòåëü: âåñ çàâèñèò îò ðîñòà, ðàçìåðà òàëèè, îáúåìà ãðóäè, ðàçìåðà îáóâè è ò.ä. è ò.ï. Âîò òóò-òî ìû è ïîäîøëè ê âàæíîìó âûâîäó: åñëè èñêîìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü è ñóùåñòâóåò (à ïîêà åùå îíà íèêåì íå îáíàðóæåíà), òî îíà äîëæíà áûòü èñêëþ÷èòåëüíî ñëîæíîé. À ïîñêîëüêó íåëüçÿ ïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷åãî íåò, òî ïðîùå îïèñûâàòü ýòó ñëîæíóþ ïðè÷èííóþ ñâÿçü ìåæäó âåñîì, ðîñòîì è äðóãèìè ïàðàìåòðàìè ÷åëîâåêà êàê-òî ïî èíîìó, ìèíóÿ êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè.

Âåñ è ðîñò ÷åëîâåêà îïðåäåëÿþòñÿ ïðàêòè÷åñêè îäíèìè è òåìè æå ôàêòîðàìè, ÷èñëî êîòîðûõ äîâîëüíî âåëèêî (âîçðàñò, íàñëåäñòâåííîñòü, ôèçèîëîãè÷åñêèå îñîáåííîñòè, ñîöèàëüíûå óñëîâèÿ, ýêîëîãè÷åñêàÿ ñðåäà è ïð.). Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåñ ÷åëîâåêà çàâèñèò îò ðÿäà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñðåäè êîòîðûõ ðîñò ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ. Ýòó çàâèñèìîñòü îïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè. Íàïðèìåð, èìååò ñìûñë ãîâîðèòü î âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî âåñ ìîëîäîãî ÷åëîâåêà ñ ðîñòîì 175 ñì ðàâåí 75 êã èëè çàêëþ÷åí â ïðåäåëàõ îò 70 äî 80 êã. Çàâèñèìîñòè òàêîãî ðîäà íàçûâàþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèìè, âåðîÿòíîñòíûìè èëè ñòàòèñòè÷åñêèìè. Îíè ñóùåñòâóþò ìåæäó áèîëîãè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè ÷åëîâåêà, æèâîòíîãî, ðàñòåíèÿ; ìåæäó ñïîñîáíîñòÿìè ñòóäåíòà è åãî óñïåõàìè â ó÷åáå; ìåæäó îòíîøåíèåì ñîîáùåñòâà ê îáðàçîâàíèþ è óðîâíåì ïðåñòóïíîñòè; ìåæäó âíåøíèì âèäîì ñîëäàò è áîåñïîñîáíîñòüþ ïîëêà. Ïîäîáíûõ ïðèìåðîâ ìîæíî ïðèâåñòè ñêîëüêî óãîäíî. Âàæíåéøèì âèäîì ñòîõàñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü. Ïîêàæåì íà ïðèìåðå, êàê îïèñàòü êîððåëÿöèîííóþ çàâèñèìîñòü ïî ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèé.

 òàáëèöå ïðèâåäåíû äàííûå èçìåðåíèÿ âåñà è ðîñòà äâàäöàòè êóðñàíòîâ øêîëû ÌÂÄ:

Íîìåð                    
Ðîñò                    
Âåñ                    
Íîìåð                    
Ðîñò                    
Âåñ                    

Ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî ïðåäñòàâèòü ãðàôè÷åñêè, ïîñòðîèâ òî÷êè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîîðäèíàòàìè:

Ïîëó÷åííûå òî÷êè ëåæàò âíóòðè íåêîòîðîé îáëàñòè èëè «îáëàêà», êîòîðîå îáîçíà÷åíî ïóíêòèðíîé ëèíèåé. Õîðîøî çàìåòíî, ÷òî îáëàêî âûòÿíóòî âäîëü êàêîé-òî íàêëîííîé ïðÿìîé. Ýòîò ôàêò îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíû X è Ó õîðîøî ñêîððåëèðîâàíû, ò.å. ïðè óâåëè÷åíèè ðîñòà âåñ, êàê ïðàâèëî, òîæå óâåëè÷èâàåòñÿ. Ìû âèäèì, ÷òî íà íåêîòîðûõ âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ âíóòðè îáëàêà íàõîäèòñÿ ïî íåñêîëüêó òî÷åê: 1, 6 è13; 2 è 20; 4, 14 è 16; 9 è 18; 10 è 12. Äëÿ òî÷åê 1, 6 è 13 ñðåäíèé âåñ áóäåò (72 + 79 + 77): 3 = 76; äëÿ òî÷åê 2 è 20 ñðåäíèé âåñ áóäåò 68,5 è ò.ä. Åñëè íà âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé íàõîäèòñÿ îäíà òî÷êà, òî åå âåñ è åñòü ñðåäíèé. Ñîåäèíèâ ñðåäíèå òî÷êè îòðåçêàìè, ïîëó÷èì ëîìàíóþ ëèíèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîé ëèíèåé ðåãðåññèè. Ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî ïðèáëèæåííî íàõîäèòü ñðåäíèé âåñ ïî çàäàííîìó ðîñòó â ïðåäåëàõ îò 159 ñì äî 198 ñì. Íàïðèìåð, ïðè ðîñòå 185 ñì ïîëó÷àåì âåñ 83,4 êã. Åñëè áû ìû ïðîâåëè íå 20, à 200 èçìåðåíèé, òî òî÷åê âíóòðè îáëàêà îêàçàëîñü áû áîëüøå, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèíèÿ ðåãðåññèè áûëà áû ïî ôîðìå áëèæå ê ïðÿìîé è äàâàëà áû áîëåå òî÷íûé ñðåäíèé âåñ ïðè çàäàííîì ðîñòå.

Òåîðåòè÷åñêè, êàæäóþ òî÷êó âíóòðè îáëàêà ìîæíî ñ÷èòàòü ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèÿ. Ïðè ýòîì äîïóùåíèè ëèíèÿ ðåãðåññèè, êàê ïîêàçûâàåò òåîðèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. Ýòà ïðÿìàÿ áóäåò ãðàôèêîì íåêîòîðîé ëèíåéíîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ðåãðåññèåé. Äîêàçàíî, ÷òî ðåãðåññèÿ ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ðåøåíèåì çàäà÷è, î êîòîðîé øëà ðå÷ü â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà — ïðèáëèæåííî âûðàçèòü âåñ êàê ôóíêöèþ ðîñòà.

Åñëè áû ëèíèÿ ðåãðåññèè áûëà íàì èçâåñòíà, ìû ñìîãëè áû åå ïðîäîëæèòü çà ïðåäåëû îáëàêà è âû÷èñëèòü ñ åå ïîìîùüþ ñðåäíèé âåñ ÷åëîâåêà ñ ðîñòîì, íàïðèìåð, 195 ñì. Îäíàêî ìû ìîæåì ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, èìåÿ â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ýìïèðè÷åñêóþ ëèíèþ ðåãðåññèè — ëîìàíóþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 25. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì åå ïðÿìîé, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûé âûøå ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé èìååò âèä

ó = kx + b,

ãäå

, b = k

Çäåñü , è ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ðîñòà, âåñà è èõ ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé, Dx äèñïåðñèÿ ðîñòà. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû èç âòîðîé ãëàâû, ïîëó÷àåì:

= (178 + 170 +... + 170) = 177,35; 20

= (72 + 65 +... + 72) = 75,65; 20

= (178 • 72 + 170 • 65 +... + 178 • 72) = 13485,15; 20

Dx = ((178-177,35)2 +(170 – 177,35)2 +...+ (170-177,35)2) = 79,1.

Ïîäñòàâëÿÿ â ïðåäûäóùèå ôîðìóëû, íàõîäèì k è b:

b = 75,65 – 0,8675 • 177,35 = –78,20.

Èòàê, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé:

ó = 0,87 x – 78,20 (24)

Îíà íàçûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîé ïðÿìîé ðåãðåññèè. Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå õ = 195, íàéäåì ñðåäíèé âåñ êóðñàíòà ñ òàêèì ðîñòîì — 91 êã.

Òåïåðü ìû ìîæåì íàéòè âåðîÿòíîñòü P(h) òîãî, ÷òî âåñ êóðñàíòà ñ ðîñòîì õ çàêëþ÷åí â ïðåäåëàõ îò ó – h äî ó + h. Çäåñü ó — ñðåäíèé ðîñò, íàéäåííûé ïî ôîðìóëå (24). Âåðîÿòíîñòü P(h) âû÷èñëÿþò ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ëàïëàñà Ô ïî ôîðìóëàì:

P(h) = 2Ô(à) (25)

(26)

(27)

ãäå ï = 20 — ÷èñëî íàáëþäåíèé. Âåëè÷èíû , , è Dx óæå íàéäåíû âûøå; âû÷èñëèì Sx, Sy è r:

D = ((72-75,65)2 +(65-75,65)2 +...+ (72 -75,65)2) = 86,03;

Òåïåðü ìîæíî íàõîäèòü P(h). Ïóñòü, íàïðèìåð, À = 5. Òîãäà

Çíà÷åíèå Ô(0,5) íàõîäèì ïî òàáëèöå, äàííîé â Ïðèëîæåíèè íà ñ. 219: Ô(0,5) = 0,1915. Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (25), ïîëó÷àåì Ð(5) = 0,383 ˜ 0,38.

Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âåñ êóðñàíòà îòëè÷àåòñÿ îò ñðåäíåãî âåñà íå áîëüøå ÷åì íà 5 êã, ðàâíà 0,38. Íàïðèìåð, ïðè ðîñòå 195 ñì ñðåäíèé âåñ êóðñàíòà áóäåò 91 êã, ñëåäîâàòåëüíî, 38% êóðñàíòîâ ñ ðîñòîì 195 ñì èìåþò âåñ â ïðåäåëàõ îò 86 äî 96 êã. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (26) ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ òàêèõ õ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ: õ - õ < 3Sx.

Âåëè÷èíà ã, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (27), íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ìåæäó âåëè÷èíàìè X è Y. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè èãðàåò âàæíóþ ðîëü â âîïðîñàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Îí îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1. –1 = ã = 1.

2. Åñëè âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìû, òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ìåæäó íèìè ðàâåí íóëþ.

3. Åñëè âåëè÷èíû X è Y ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ, òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ðàâåí 1 èëè –1. Îáðàòíî, åñëè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ðàâåí 1 èëè –1, òî âåëè÷èíû X è Y ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ.

Ïðè ñîâìåñòíîì èçó÷åíèè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y ïðåæäå âñåãî íàõîäÿò êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, è åñëè îí îêàçûâàåòñÿ áëèçêèì ê åäèíèöå (ïî êðàéíåé ìåðå áîëüøèì 0,5), òî èìååò ñìûñë îïèñûâàòü êîððåëÿöèîííóþ ñâÿçü òåì ñïîñîáîì, êîòîðûé ìû òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåëè. Ïðîâåäåííûå íàìè ðàñ÷åòû ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûìè, è èõ òî÷íîñòü çàâèñèò îò òîãî, íàñêîëüêî áëèçêà ýìïèðè÷åñêàÿ ëèíèÿ ðåãðåññèè ê òåîðåòè÷åñêîé ëèíèè ðåãðåññèè. Òî÷íîñòü ïîâûøàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà íàáëþäåíèé, ò.å. îáúåìà âûáîðêè.





Äàòà ïóáëèêîâàíèÿ: 2015-03-26; Ïðî÷èòàíî: 297 | Íàðóøåíèå àâòîðñêîãî ïðàâà ñòðàíèöû | Ìû ïîìîæåì â íàïèñàíèè âàøåé ðàáîòû!



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