Ãëàâíàÿ Ñëó÷àéíàÿ ñòðàíèöà Êîíòàêòû | Ìû ïîìîæåì â íàïèñàíèè âàøåé ðàáîòû! | ||
|
Êðîìå ôóíêöèé, ïåðå÷èñëåííûõ â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, â øêîëå èçó÷àþò åùå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè — ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ, êîòàíãåíñ, ñåêàíñ è êîñåêàíñ, ïðè÷åì ïîñëåäíèå ÷åòûðå ïðîñòî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñèíóñ è êîñèíóñ:
, , ,
Ïî îïðåäåëåíèþ, sin x = a, cos õ: = b, ãäå (à, b) — êîîðäèíàòû òî÷êè Ì, êîòîðàÿ ëåæèò íà îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, à õ — óãîë, îáðàçîâàííûé âåêòîðîì ÎÌ è îñüþ X (ñì. ðèñ. 21).
Åñëè òî÷êà Ì ñäåëàåò ïîëíûé îáîðîò è ïðèäåò â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, òî óãîë x óâåëè÷èòñÿ íà 2ë7. Íî ÷èñëà à è b â ðåçóëüòàòå ýòîé ïðîöåäóðû íå èçìåíÿòñÿ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñèíóñ, êîñèíóñ è âñå äðóãèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè áóäóò ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïåðèîäîì 2ÿ, ò.å. äëÿ íèõ
sin x = sin(x + 2 ë) = sin(x + 4 ë) =... = sin(x + 2 πk),
cos x = cos(x + 2 ë) = cos(x + 4 ë) =... = cos(x + 2 πk),
ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Ïåðèîäè÷íîñòü — âàæíåéøåå ñïåöèôè÷åñêîå ñâîéñòâî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Äðóãèå ôóíêöèè — ñòåïåííàÿ, ïîêàçàòåëüíàÿ è ëîãàðèôìè÷åñêàÿ — ïåðèîäè÷åñêèìè íå ÿâëÿþòñÿ. Ñ ïîìîùüþ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé îïèñûâàþòñÿ ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå ïåðèîäè÷åñêèå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â æèâîé è íåæèâîé ïðèðîäå: êîëåáàòåëüíûå è âðàùàòåëüíûå äâèæåíèÿ, âîëíîâûå ÿâëåíèÿ, äâèæåíèå ïëàíåò, áèîëîãè÷åñêèå ðèòìû è ò.ä.
Ïîäóìàéòå, ÿâëÿåòñÿ ëè ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêîé.
Ôóíêöèè, êàê è ÷èñëà, ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è äåëèòü. Íàïðèìåð, åñëè ðàçäåëèòü îäíó ëèíåéíóþ ôóíêöèþ íà äðóãóþ, òî ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ äðîáíî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ:
Åñëè ñëîæèòü íåñêîëüêî ñòåïåííûõ ôóíêöèé âèäà àõï, ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî èëè íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè
ó = àõ2 + bõ + ñ
ïîëó÷àåòñÿ êàê ñóììà òðåõ ôóíêöèé:
ó = àõ2, ó = bõ = bõ1, ó = ñ = ñõ0.
Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí ëþáîé ñòåïåíè ï:
ó = à0õï + a1xn-1 + à2õï-2 +... + àï-1õ + àï.
Ìíîãî÷ëåíû èãðàþò âàæíóþ ðîëü è ìàòåìàòèêå è åå ïðèëîæåíèÿõ. Ïðèìåðíî 100 ëåò íàçàä Êàðë Âåéåð-øòðàññ8 äîêàçàë, ÷òî ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðèáëèæàòü ìíîãî÷ëåíàìè ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè.  ÷àñòíîñòè, ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè åõ íàõîäÿò ïî ôîðìóëå
åx ˜ 1 + õ + õ2 + õ3 +...+ õï.
×åì áîëüøå ï (÷èñëî ñëàãàåìûõ), òåì âûøå òî÷íîñòü, ò.å. òåì ìåíüøå ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè îòëè÷àåòñÿ îò åå èñòèííîãî çíà÷åíèÿ.
Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíîâ çíà÷åíèå ìàññû êîáàëüòà (ñì. ïðèìåð èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà). Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òðåìÿ ñëàãàåìûìè, òî ïîëó÷èì:
åõ ˜ 1 + õ + õ2.
Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé, íàõîäèì:
Åñëè æå âçÿòü ÷åòûðå ñëàãàåìûõ, òî ïîëó÷èì
åõ ˜ 1 + õ + õ2 + õ3.
Ýòà ôîðìóëà äàåò óæå áîëåå òî÷íîå çíà÷åíèå:
Åñëè îäèí ìíîãî÷ëåí ïîäåëèòü íà äðóãîé, ïîëó÷èòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, íàïðèìåð:
Êðîìå òîãî, ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ è áîëåå ñëîæíûå âûðàæåíèÿ:
y = x sin x, y = x + sin x, ó = (åõ + å-õ)
è ò.ï.
Íàä ôóíêöèÿìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü åùå îäíó îïåðàöèþ, êîòîðàÿ íå èìååò àíàëîãà ó ÷èñåë. Ýòî îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ôóíêöèè ó = v 2 è v = õ - 1. Èõ êîìïîçèöèåé áóäåò ôóíêöèÿ
y = (x- 1)2,
êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé çíà÷åíèÿ v â âûðàæåíèå äëÿ ó. Òî÷íî òàê æå ôóíêöèÿ
y = e–x
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïîçèöèþ ôóíêöèé ó = åv è v = -õ2.
Êîìïîçèöèè äâóõ èëè íåñêîëüêèõ ôóíêöèé íàçûâàþòñÿ òàêæå ñëîæíûìè ôóíêöèÿìè.
Òåïåðü ìû ìîæåì îòâåòèòü íà âîïðîñ, ÷òî òàêîå ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ. Òàê íàçûâàþòñÿ ïîñòîÿííûå, ëèíåéíûå, ñòåïåííûå, ïîêàçàòåëüíûå, ëîãàðèôìè÷åñêèå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, à òàêæå ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç íèõ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è îïåðàöèé êîìïîçèöèè. Íàïðèìåð, ñëåäóþùèå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè:
ó = ln cos õ, ó = 2sin x, ó = lg x + lglg x.
Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî âñÿêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå êîìïîçèöèè íàèáîëåå ïðîñòûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü åå ãðàôèê. Èìåííî òàê â øêîëå èññëåäóåòñÿ ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè (òàê íàçûâàåìûé êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí).
Íàïîìíèì, êàê ýòî äåëàåòñÿ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí
ó = 2 x 2 – 10 x + 12. (22)
Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü, âûäåëèâ ïîëíûé êâàäðàò:
2 õ 2 – 10 x + 12 = 2(õ 2 -5 õ + 6,25) - 0,5 = 2(õ - 2,5)2 - 0,5.
 ðåçóëüòàòå çàäàííûé ìíîãî÷ëåí ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ó = 2(õ - 2,5)2 - 0,5.
Òåïåðü õîðîøî âèäíî, ÷òî îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïîçèöèþ òðåõ ôóíêöèé:
ó = è - 0,5; è = 2v2; v = x - 2,5. (23)
Ïîëüçóÿñü ýòèì, ïîñòðîèì ãðàôèê ìíîãî÷ëåíà (22). Ñíà÷àëà ñòðîèì ãðàôèê èçâåñòíîé íàì ôóíêöèè è = 2v2 (ñì. ðèñ. 22).
Ðàññìîòðèì äàëåå ïåðâîå èç ðàâåíñòâ (23):
ó = è – 0,5.
Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ó êàæäîé òî÷êè Ì ïëîñêîñòè ìû óìåíüøàåì åå âòîðóþ êîîðäèíàòó è íà 0,5, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåòñÿ íîâàÿ âòîðàÿ êîîðäèíàòà ó. Ýòà îïåðàöèÿ ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî ìû ïîäíèìàåì ãîðèçîíòàëüíóþ îñü (îñü v) íà 0,5 ââåðõ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì êàðòèíó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 23 (ïðåæíåå ïîëîæåíèå îñè v îáîçíà÷åíî ïóíêòèðîì).
Äàëåå ðàññìîòðèì òðåòüå ðàâåíñòâî (23), êîòîðîå çàïèøåì òàê:
õ = è + 2,5.
Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ê ïåðâîé êîîðäèíàòå v êàæäîé òî÷êè ïëîñêîñòè ìû ïðèáàâëÿåì ÷èñëî 2,5 è ïîëó÷àåì â ðåçóëüòàòå íîâóþ ïåðâóþ êîîðäèíàòó õ. Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ìû ñäâèãàåì îñü ó íà 2,5 åäèíèöû âëåâî (ñì. ðèñ. 24, íà êîòîðîì ïðåæíåå ïîëîæåíèå îñè Y îáîçíà÷åíî ïóíêòèðîì).
Èòàê, ãðàôèê ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè (22) ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì ïàðàáîëû ó = 2 õ 2íà 2,5 åäèíèöû âïðàâî è 0,5 åäèíèöû âíèç. ×èñëà 2,5 è -0,5 ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåðøèíû ïîëó÷åííîé òàêèì îáðàçîì ïàðàáîëû.
ßñíî, ÷òî îïèñàííûå ïîñòðîåíèÿ ìîæíî ïðîäåëàòü ñ ëþáûì ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè, òàê ÷òî ãðàôèêîì ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà.
Áîëåå òîãî, ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé ìîæíî ñòðîèòü ãðàôèêè è äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
Äàòà ïóáëèêîâàíèÿ: 2015-03-26; Ïðî÷èòàíî: 229 | Íàðóøåíèå àâòîðñêîãî ïðàâà ñòðàíèöû | Ìû ïîìîæåì â íàïèñàíèè âàøåé ðàáîòû!